Problema 4 · Matemáticas I UB 2018

Tema: Extrems de funcions de diverses variables · Del examen Examen de reavaluació febrer 2018 (2018)

Enunciado

Donada la funció f(x,y)=y2−x2f(x,y) = y^2 - x^2 i els tres subconjunts de R2\mathbb{R}^2:

D1={(x,y)∈R2:x2+y2≤4}D_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 4\}

D2={(x,y)∈R2:x2+y2<9}D_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 < 9\}

D3={(x,y)∈R2:x≥3}D_3 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x \geq 3\}

a)

[2 punts] Representeu gràficament les regions D1D_1, D2D_2 i D3D_3.

b)

[2 punts] Indiqueu en quina o quines d'aquestes tres regions és possible garantir amb certesa que ff assoleix un màxim absolut i un mínim absolut. Justifiqueu la resposta.

c)

[6 punts] Determineu el valor del màxim absolut i del mínim absolut de ff a la regió seleccionada a l'apartat anterior, així com els punts concrets on s'assoleixen.

Enunciado: Problema 4 · Matemáticas I UB 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Representeu gràficament les regions D1, D2 i D3. b) Indiqueu en quina o quines d'aquestes tres regions és possible garantir amb certesa que f assoleix un màxim absolut i un mínim absolut.

Solución: Regió: D1. Descripció gràfica de les tres regions: - D1D_1 és el cercle tancat de radi 2 centrat a l'origen, és a dir, la circumferència x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 juntament amb el seu interior. - D2D_2 és el disc obert de radi 3 centrat a l'origen, format pels punts interiors a la circumferència x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 (sense incloure la frontera). - D3D_3 és el semiplà tancat situat a la dreta de la recta vertical x=3x = 3, incloent-hi la recta.

b) Justifiqueu la resposta.

Solución: f és contínua a tot R² per ser un polinomi. D1 és tancat i fitat (compacte), per tant pel Teorema de Weierstrass f hi assoleix un màxim i un mínim absolut. D2 no és tancat i D3 no és fitat.

c) Determineu el valor del màxim absolut de f a D1

Solución: 44

c) Punts concrets on s'assoleix el màxim absolut

Solución: (0,2)(0,2) i (0,−2)(0,-2)

c) Determineu el valor del mínim absolut de f a D1

Solución: −4-4

c) Punts concrets on s'assoleix el mínim absolut

Solución: (2,0)(2,0) i (−2,0)(-2,0)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 4 · 2019 · Exercici 3 · 2018 ›

Más ejercicios de Extrems de funcions de diverses variables