Problema 1 · Matemáticas I UB 2018

Tema: Sistemes d'equacions diferencials lineals · Del examen Examen de reavaluació febrer 2018 (2018)

Enunciado

Problema 1 (10 punts). Diagonalització i sistemes d'equacions diferencials

Sigui a∈Ra \in \mathbb{R} un paràmetre real i considerem la matriu següent:A=(a01010−202)A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}

a)

[4 punts] Determineu per a quins valors del paràmetre aa la matriu AA és diagonalitzable per semblança sobre R\mathbb{R}.

b)

[4 punts] Fixat a=−1a = -1, trobeu una matriu diagonal DD i una matriu invertible CC tals que compleixin C−1AC=DC^{-1}AC = D.

c)

[2 punts] Fent ús dels resultats de l'apartat anterior, resoleu el sistema d'equacions diferencials:{x′=−x+zy′=yz′=−2x+2z\begin{cases} x' = -x + z \\ y' = y \\ z' = -2x + 2z \end{cases}

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas I UB 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determineu per a quins valors del paràmetre a la matriu A és diagonalitzable per semblança sobre R.

Solución: a∈(−∞,2−22)∪(2+22,+∞)a \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}) \cup (2 + 2\sqrt{2}, +\infty) i a=−1a = -1

b. Matriu diagonal D

Solución: D=(000010001)D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b. Matriu invertible C

Solución: C=(101010102)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

c. Resoleu el sistema d'equacions diferencials fent ús dels resultats de l'apartat anterior

Solución: (x(t)y(t)z(t))=(k1+k3etk2etk1+2k3et)\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1 + k_3 e^t \\ k_2 e^t \\ k_1 + 2k_3 e^t \end{pmatrix}, amb k1,k2,k3∈Rk_1, k_2, k_3 \in \mathbb{R}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 2 · 2020 · Exercici 2 · 2018 ›

Más ejercicios de Sistemes d'equacions diferencials lineals