Problema 2 · Matemáticas I UB 2018

Tema: Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre · Del examen Examen de reavaluació febrer 2018 (2018)

Enunciado

Problema 2 (10 punts). Resolució d'equacions diferencials

Trobeu la solució general de les equacions diferencials següents:

a)

[3 punts] y′+2xy=x3y' + 2xy = x^3

b)

[4 punts] y′=y3xy2+x3y' = \dfrac{y^3}{xy^2 + x^3}

c)

[3 punts] y′′′+3y′′+3y′+2y=2xy''' + 3y'' + 3y' + 2y = 2x

Nota: Cerqueu una solució particular de la forma yp(x)=Ax+By_p(x) = Ax + B, amb A,BA, B constants reals.

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas I UB 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. y' + 2xy = x^3

Solución: y(x)=12(x2−1)+Ce−x2y(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 1) + C e^{-x^2}, C∈RC \in \mathbb{R}

b. y' = y^3 / (xy^2 + x^3)

Solución: y22x2+ln⁡∣y∣=C1\frac{y^2}{2x^2} + \ln|y| = C_1 (o ∣y∣ey2/(2x2)=C|y|e^{y^2/(2x^2)} = C, C>0C > 0, juntament amb y=0y = 0)

c. y''' + 3y'' + 3y' + 2y = 2x

Solución: y(x)=C1e−2x+e−x/2(C2cos⁡(32x)+C3sin⁡(32x))+x−32y(x) = C_1 e^{-2x} + e^{-x/2} \left( C_2 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + C_3 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right) + x - \frac{3}{2}

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