Examen de Matemáticas I UB 2017 · final gener 2017

Exercici 1 (10 punts). Diagonalització de matriu

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

a)

(5 punts) Trobeu els valors del paràmetre real $a$ per als quals la matriu $A$ resulta diagonalitzable sobre $\mathbb{R}$.

b)

(5 punts) En el supòsit que $a = -1$, determineu una matriu diagonal $D$ i una matriu invertible $C$ tals que $D = C^{-1}AC$.

Exercici 2 (10 punts). Equacions diferencials

Resoleu cadascuna de les següents equacions diferencials ordinàries:

a.

(3 punts)

$$y' + \frac{y}{x} = x + 1$$

b.

(4 punts)

$$y' = \frac{2y^2}{xy - x^2}$$

c.

(3 punts)

$$y''' + 2y'' - y' - 2y = e^x$$

Nota: Cerqueu una solució particular de la forma $Axe^x$, on $A$ és una constant.

Exercici 3 (10 punts). Extrems absoluts en un disc

Trobeu els punts on la funció

$$f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 2x - 1$$

assoleix els seus valors màxim i mínim absoluts sobre el disc tancat

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 4 \right\}$$

Exercici 4 (10 punts). Camp vectorial i integral de línia

Es considera el camp vectorial definit a $\mathbb{R}^2$ per:

$$F(x, y) = (2ye^{xy} + \sin y + 6x,\, 2xe^{xy} + x \cos y + 2)$$

a)

(2 punts) Determineu si el camp $F$ és conservatiu.

b)

(8 punts) Calculeu la integral de línia de $F$ al llarg de l'arc d'el·lipse parametritzat per $\sigma(t) = (4\cos t, 3\sin t)$ amb $t \in [0, 3\pi/2]$, recorregut en sentit antihorari (sentit directe).

Exercici 5 (10 punts). Teorema de Green i volum

a)

Calculeu la integral de línia $\int_C F \cdot d\sigma$, on $F$ és el camp vectorial donat per $$F(x, y) = (xy^2 + y + \cos x, 2x^2y + e^y)$$ i $C$ és la frontera del triangle de vèrtexs $(0, 0)$, $(2, 0)$ i $(0, 4)$, recorreguda en sentit directe (antihorari).

Nota: Podeu aplicar el teorema de Green.

Exercici 5 (10 punts). Teorema de Green i volum

b)

Trobeu el volum del cilindroide que té com a base el disc $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 1\}$ en el pla $xy$, i acotat superiorment per la superfície d'equació $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$.