Examen de Matrices y Vectores UB 2013 · reevaluación (Problemas y Teoría) - Enero 2013

Problema 1. Ecuaciones y dimensión de subespacios

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ se definen los siguientes subespacios:

$$F = \langle (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0) \rangle$$

$G$, dado por las ecuaciones cartesianas implícitas:

$$\begin{cases} x + y - 3z + 3t = 0 \\ x + 5y - 3z - t = 0 \end{cases}$$

y $H$, determinado por:

$$\begin{cases} x + 4y - 3z = 0 \\ x + 5y + 3z + t = 0 \end{cases}$$

Determine una base (o sus ecuaciones implícitas independientes) y calcule la dimensión del subespacio $F \cap (G + H)$.

a)

b)

Problema 2. Caracterización de suma directa mediante determinante

Sean $\{e_1, e_2, v_1, v_2\}$ cuatro vectores del espacio vectorial real $\mathbb{R}^4$. Se consideran los subespacios $F = \langle e_1, e_2 \rangle$ y $G = \langle v_1, v_2 \rangle$, y se define la matriz cuadrada $M$ cuyas columnas son respectivamente los vectores $(e_1, e_2, v_1, v_2)$.

Demuestre que $\det M \neq 0$ si y solo si $\mathbb{R}^4 = F \oplus G$.

Problema 3. Estudio de una matriz según un parámetro, inversa, núcleo e imagen

Dada la matriz dependiente del parámetro real $a$:

$$M = \begin{pmatrix} a & -1 & -1 \\ 1 & a - 1 & 0 \\ 0 & 1 & a + 1 \end{pmatrix}$$

a. Estudie para qué valores de $a$ la matriz $M$ es inversible y halle en dichos supuestos $M^{-1}$, $M^t$ y $(M^t)^{-1}$.

a.1

a.2

Problema 3. Estudio de una matriz según un parámetro, inversa, núcleo e imagen

Dada la matriz dependiente del parámetro real $a$:

$$M = \begin{pmatrix} a & -1 & -1 \\ 1 & a - 1 & 0 \\ 0 & 1 & a + 1 \end{pmatrix}$$

b. En los casos en que $M$ no resulte inversible, considere el endomorfismo $f: E \to E$ cuya matriz asociada respecto a una base fijada $(e_1, e_2, e_3)$ es $M$. Halle el núcleo y la imagen de $f$.

b.1

b.2

Fijada una base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ en un espacio vectorial $E$ de dimensión 3, se consideran la aplicación:

$$f: E \to E, \quad v \mapsto -v$$

y el endomorfismo $g: E \to E$ determinado por sus imágenes sobre la base:

$$g(e_1) = e_2, \quad g(e_2) = e_3, \quad g(e_3) = e_1$$

a)

Demuestre que la aplicación $f$ es lineal y determine las matrices asociadas a $f$ y $g$ respecto a la base $\mathcal{B}$.

b)

Compruebe analíticamente que se satisfacen las siguientes identidades:

$$(g \circ f)^2 = g^2 \quad \text{y} \quad (g \circ f)^3 = f$$

c)

Encuentre el conjunto de todos los vectores $v \in E$ que cumplen $g(v) = e_1 + 2e_2 - e_3$.

Teoría 1. Sistemas de generadores, bases y teorema de existencia

Defina rigurosamente los conceptos de sistema de generadores y base de un espacio vectorial. Demuestre que todo sistema de generadores finito contiene una base.

1.

2.

6. Teoría 2. Inversibilidad y determinantes

a)

Enuncie el criterio que caracteriza las matrices cuadradas inversibles a través de su determinante.

b)

Utilizando dicho resultado y las propiedades de los determinantes, demuestre que dadas dos matrices cuadradas $M$ y $N$ del mismo orden e inversibles, el producto $MN$ es también inversible.

c)

Bajo las condiciones del apartado anterior, indique la expresión de la matriz inversa $(MN)^{-1}$ y justifique formalmente su respuesta.