Problema 2 · Matrices y Vectores UB 2013

Demuestre que det M ≠ 0 si y solo si R^4 = F ⊕ G

Solución: La demostración consta de una doble implicación: 1. Demostración de $\det M \neq 0 \implies \mathbb{R}^4 = F \oplus G$: - Si $\det M \neq 0$, las columnas de la matriz $M$, es decir, el conjunto $B = \{e_1, e_2, v_1, v_2\}$, son linealmente independientes en $\mathbb{R}^4$. - Dado que $\dim(\mathbb{R}^4) = 4$ y $B$ consta de 4 vectores libres, $B$ es una base de $\mathbb{R}^4$. - En particular, todo subconjunto de $B$ es linealmente independiente, luego $\{e_1, e_2\}$ es una base de $F$ (con $\dim F = 2$) y $\{v_1, v_2\}$ es una base de $G$ (con $\dim G = 2$). - Puesto que $B$ genera todo el espacio, $F + G = \langle e_1, e_2, v_1, v_2 \rangle = \mathbb{R}^4$. - Aplicando la fórmula de Grassmann: $$\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) = 2 + 2 - 4 = 0$$ por lo que $F \cap G = \{\vec{0}\}$. Por definición, la suma es directa y llena el espacio: $\mathbb{R}^4 = F \oplus G$. 2. Demostración de $\mathbb{R}^4 = F \oplus G \implies \det M \neq 0$: - Si $\mathbb{R}^4 = F \oplus G$, entonces por la propiedad de las sumas directas se tiene que $\dim(\mathbb{R}^4) = \dim F + \dim G = 4$ y $F \cap G = \{\vec{0}\}$. - Puesto que $F$ está generado por dos vectores y $G$ por otros dos, sus dimensiones deben ser forzosamente $\dim F \le 2$ y $\dim G \le 2$. La única manera de que sumen 4 es que $\dim F = 2$ y $\dim G = 2$. - Por consiguiente, $\{e_1, e_2\}$ es un sistema libre (base de $F$) y $\{v_1, v_2\}$ es un sistema libre (base de $G$). - La unión de bases de subespacios en suma directa constituye una base del subespacio suma: como $F \oplus G = \mathbb{R}^4$, la yuxtaposición $B = \{e_1, e_2, v_1, v_2\}$ es una base de $\mathbb{R}^4$. - Al ser sus vectores linealmente independientes, el rango de la matriz $M$ formada por ellos en columnas es máximo (rango 4), lo cual equivale a decir que $\det M \neq 0$.