Problema 3.b · Matrices y Vectores UB 2013

Tema: Aplicacions lineals: matriu, nucli i imatge · Del examen Examen de reevaluación (Problemas y Teoría) - Enero 2013 (2013)

Enunciado

Problema 3. Estudio de una matriz según un parámetro, inversa, núcleo e imagen

Dada la matriz dependiente del parámetro real aa:

M=(a−1−11a−1001a+1)M = \begin{pmatrix} a & -1 & -1 \\ 1 & a - 1 & 0 \\ 0 & 1 & a + 1 \end{pmatrix}

b. En los casos en que MM no resulte inversible, considere el endomorfismo f:E→Ef: E \to E cuya matriz asociada respecto a una base fijada (e1,e2,e3)(e_1, e_2, e_3) es MM. Halle el núcleo y la imagen de ff.

b.1

b.2

Enunciado: Problema 3.b · Matrices y Vectores UB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Núcleo de ff (generador en la base fijada):

Solución: e1+e2−e3e_1 + e_2 - e_3 / ⟨e1+e2−e3⟩\langle e_1 + e_2 - e_3 \rangle

Imagen de ff (base y dimensión):

Solución: Im⁡f=⟨e2,−e1−e2+e3⟩\operatorname{Im} f = \langle e_2, -e_1 - e_2 + e_3 \rangle, dim⁡(Im⁡f)=2\dim(\operatorname{Im} f) = 2

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