Problema 4 · Matrices y Vectores UB 2013

Tema: Aplicacions lineals: matriu, nucli i imatge · Del examen Examen de reevaluación (Problemas y Teoría) - Enero 2013 (2013)

Enunciado

Fijada una base B=(e1,e2,e3)\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3) en un espacio vectorial EE de dimensión 3, se consideran la aplicación:

f:E→E,v↦−vf: E \to E, \quad v \mapsto -v

y el endomorfismo g:E→Eg: E \to E determinado por sus imágenes sobre la base:

g(e1)=e2,g(e2)=e3,g(e3)=e1g(e_1) = e_2, \quad g(e_2) = e_3, \quad g(e_3) = e_1

a)

Demuestre que la aplicación ff es lineal y determine las matrices asociadas a ff y gg respecto a la base B\mathcal{B}.

b)

Compruebe analíticamente que se satisfacen las siguientes identidades:

(g∘f)2=g2y(g∘f)3=f(g \circ f)^2 = g^2 \quad \text{y} \quad (g \circ f)^3 = f

c)

Encuentre el conjunto de todos los vectores v∈Ev \in E que cumplen g(v)=e1+2e2−e3g(v) = e_1 + 2e_2 - e_3.

Enunciado: Problema 4 · Matrices y Vectores UB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demuestre que la aplicación ff es lineal y determine las matrices asociadas a ff y gg respecto a la base B\mathcal{B}:

Solución: [f]B=−I3=(−1000−1000−1),[g]B=(001100010)[f]_\mathcal{B} = -I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad [g]_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

b. Compruebe analíticamente que se satisfacen (g∘f)2=g2(g \circ f)^2 = g^2 y (g∘f)3=f(g \circ f)^3 = f:

Solución: (g∘f)2=g2y(g∘f)3=f(g \circ f)^2 = g^2 \quad \text{y} \quad (g \circ f)^3 = f

c. Encuentre el conjunto de todos los vectores v∈Ev \in E que cumplen g(v)=e1+2e2−e3g(v) = e_1 + 2e_2 - e_3:

Solución: v=2e1−e2+e3v = 2e_1 - e_2 + e_3

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