Problema 3.a · Matrices y Vectores UB 2013

Tema: Determinants i permutacions · Del examen Examen de reevaluación (Problemas y Teoría) - Enero 2013 (2013)

Enunciado

Problema 3. Estudio de una matriz según un parámetro, inversa, núcleo e imagen

Dada la matriz dependiente del parámetro real aa:

M=(a−1−11a−1001a+1)M = \begin{pmatrix} a & -1 & -1 \\ 1 & a - 1 & 0 \\ 0 & 1 & a + 1 \end{pmatrix}

a. Estudie para qué valores de aa la matriz MM es inversible y halle en dichos supuestos M−1M^{-1}, MtM^t y (Mt)−1(M^t)^{-1}.

a.1

a.2

Enunciado: Problema 3.a · Matrices y Vectores UB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Valores de aa para los cuales la matriz MM es inversible

Solución: a≠0a \neq 0

Halle en dichos supuestos M−1M^{-1}, MtM^t y (Mt)−1(M^t)^{-1}

Solución: M−1=1a3(a2−1aa−1−(a+1)a2+a−11−aa2−a+1)M^{-1} = \frac{1}{a^3} \begin{pmatrix} a^2 - 1 & a & a - 1 \\ -(a+1) & a^2+a & -1 \\ 1 & -a & a^2-a+1 \end{pmatrix}, Mt=(a10−1a−11−10a+1)M^t = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ -1 & a-1 & 1 \\ -1 & 0 & a+1 \end{pmatrix}, (Mt)−1=1a3(a2−1−(a+1)1aa2+a−aa−1−1a2−a+1)(M^t)^{-1} = \frac{1}{a^3} \begin{pmatrix} a^2 - 1 & -(a+1) & 1 \\ a & a^2+a & -a \\ a - 1 & -1 & a^2-a+1 \end{pmatrix}

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