Ejercicio 2 - Descomposició en valors singulars (SVD) i com… · Álgebra Lineal UB 2016

a. Quantes files i columnes tenen les matrius U, S i V? (0,5 p)

Solución: En la SVD estàndard: $U$ és de $m \times m$, $S$ és de $m \times n$, i $V$ és de $n \times n$ (en la SVD reduïda de rang $k$: $U$ és $m \times k$, $S$ és $k \times k$ i $V$ és $n \times k$).

b. Explica com es pot utilitzar el càlcul de valors propis i vectors propis per a calcular les matrius U, S i V. (0,5 p)

Solución: Les columnes de $V$ són els vectors propis ortonormals de $X^T X$; les columnes de $U$ són els vectors propis ortonormals de $X X^T$; els valors singulars no nuls de $S$ són $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$.

c. Explica quina interpretació algebraica podem donar a les columnes de la matriu U i a les columnes del producte de matrius S · V^T. (0,5 p)

Solución: Les columnes d'$U$ formen una base ortonormal de l'espai d'arribada (i les $r$ primeres de l'espai columna de $X$). Les columnes de $S V^T$ són les coordenades de les columnes de $X$ respecte a la base donada per les columnes de $U$.

a. Calcula quantes columnes de la matriu U caldria conservar per tal d'aconseguir un factor de compressió basat en la SVD igual al 56%. (1,5 p)

Solución: 40