Ejercicio 1 - Diagonalització: valors i vectors propis · Álgebra Lineal UB 2016

Tema: Diagonalització, Cayley-Hamilton i potències de matrius · Del examen Punt de Control 2 - Curs 2016/17 (2016)

Enunciado

Exercici 1. Diagonalització d'endomorfismes i càlcul matricial

Considera l'endomorfisme f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 definit per:

f(x,y,z)=(2x−y+z, ay, by+z)f(x, y, z) = (2x - y + z,\ ay,\ by + z)

f.a

Determina per a quins valors dels paràmetres aa i bb l'endomorfisme ff és diagonalitzable. [1,5 p]

f.b

Per al cas concret a=−1a = -1 i b=1b = 1, calcula els valors propis i els vectors propis associats a ff. [1 p]

Considera ara un altre endomorfisme g:R3→R3g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 que té com a matriu associada en la base canònica:B=(2c−10d0011)B = \begin{pmatrix} 2 & c & -1 \\ 0 & d & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

g.a

Sabent que el vector x⃗=(1,2,1)\vec{x} = (1, 2, 1) és un vector propi de gg, troba els valors de cc i dd. [1,25 p]

g.b

Suposant c=d=0c = d = 0, troba les matrius PP i DD tals que B=PDP−1B = PDP^{-1}. [1,25 p]

Enunciado: Ejercicio 1 - Diagonalització: valors i vectors propis · Álgebra Lineal UB 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determina per a quins valors dels paràmetres aa i bb l'endomorfisme ff és diagonalitzable.

Solución: Diagonalitza sempre si a≠1a \neq 1 i a≠2a \neq 2 (per a qualsevol bb); si a=2a=2, diagonalitza si b=1b=1; si a=1a=1, diagonalitza si b=0b=0.

b. Per al cas concret a=−1a = -1 i b=1b = 1, calcula els valors propis i els vectors propis associats a ff.

Solución: Valors propis: λ=2,1,−1\lambda = 2, 1, -1. Vectors propis: v⃗1=(1,0,0)\vec{v}_1 = (1, 0, 0) per a λ=2\lambda = 2; v⃗2=(1,0,−1)\vec{v}_2 = (1, 0, -1) per a λ=1\lambda = 1; v⃗3=(−1,−2,1)\vec{v}_3 = (-1, -2, 1) per a λ=−1\lambda = -1.

g.a. Valor de c

Solución: 1

g.a. Valor de d

Solución: 3

g.b. Suposant c=d=0c = d = 0, troba les matrius PP i DD tals que B=PDP−1B = PDP^{-1}.

Solución: D=(200010000)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, P=(11100−2012)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 2.e - Cayley-Hamilton · 2017 · Ejercicio 1 - Cayley-Hamilton, potències i polinomis de mat… · 2016 ›

Más ejercicios de Diagonalització, Cayley-Hamilton i potències de matrius