Exercici 1 · Álgebra UB 2017

Exercici 1 (4 punts). Canvis de base en espais de matrius

Considerem l'espai vectorial de matrius reals $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ i un subespai vectorial $F$. Es disposa de les següents dades:

La matriu de canvi de base de $B$ a $C$ ve donada per:

$$C_{BC} = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

La base canònica de l'espai és:

$$C = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

D'altra banda, $U$ i $V$ són dues bases del subespai $F$ formades per les matrius:

$$U = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \right\}, \quad V = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right\}$$

I es defineix la matriu:

$$\vec{m} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

a.

Indica quins són els vectors que formen la base $B$ i determina les coordenades de $\vec{m}$ respecte a la base $B$. [0.5 p]

b.

Troba les components de la matriu $\vec{m}$ referides a la base $U$. [0.5 p]

c.

Calcula la matriu de transició de la base $V$ a la base $U$ tot justificant els passos fets. [1.25 p]

d.

Determina les coordenades de $\vec{m}$ en la base $V$ aplicant la matriu de canvi trobada a l'apartat anterior. [1.25 p]

e.

Troba directament les coordenades de $\vec{m}$ respecte de $V$ sense fer servir cap matriu de canvi de base. [0.5 p]