Exercici 2 · Álgebra UB 2017

Exercici 2 (6 punts). Aplicacions lineals en espais de polinomis

Sigui l'aplicació lineal $f: P_2(x) \to P_2(x)$ definida com:

$$f(a + bx + cx^2) = (a - b) + (a + b)x + (a + c)x^2$$

Es consideren les bases de $P_2(x)$:

$$B = \{1 + x^2, 1 + x, 1\}, \quad D = \{x^2, x, 1\}$$

a)

Troba la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent la base $B$ tant a l'espai d'origen com al de destí. [1,5 p]

Fila 1:

Fila 2:

Fila 3:

b)

Estudia si l'aplicació $f$ és injectiva, exhaustiva i bijectiva. [0,5 p]

L'aplicació $f$ és injectiva:

L'aplicació $f$ és exhaustiva:

L'aplicació $f$ és bijectiva:

Es defineix a continuació una segona aplicació lineal $g: P_2(x) \to \mathbb{R}^2$ que té com a matriu associada en bases $D$ (origen) i $E$ (destí):

$$G_{DE} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

on $D$ és la base especificada abans i $E = \{(0,2), (1,0)\}$.

c)

Calcula la imatge mitjançant $g$ del polinomi $\vec{p} = 4 + x + x^2$. Expressa el resultat com a vector de $\mathbb{R}^2$, no en coordenades respecte a cap base. [1,25 p]

(

,

)

d)

Definim l'aplicació composició $h(x) = (g \circ f)(x)$. Troba la matriu associada a $h$ considerant la base $B$ a l'origen i la base $E$ al destí ($H_{BE}$). [1,5 p]

Fila 1:

Fila 2:

e)

Determina una base i la dimensió del nucli de l'aplicació $g$ ($\ker(g)$). No deixis el resultat en components respecte a cap base. [1,25 p]