Examen de Álgebra UB 2016 · Punt de control de 2n semestre - Març 2016

Exercici 1 [6 punts]. Diagonalització i valors propis d'endomorfismes a $\mathbb{R}^3$

Sigui $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un endomorfisme que té associada la següent matriu (amb $a, b \in \mathbb{R}$):

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ a & a & 2 \end{pmatrix}$$

a)

[1,5 punts] Analitzeu la diagonalitzabilitat de $f$ en funció dels diferents valors que poden prendre els paràmetres reals $a$ i $b$.

b)

[1 punt] En el cas particular en què $a = 0$ i $b = 2$, determineu les matrius $P$ i $D$ tals que $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$.

Es considera ara un segon endomorfisme $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definit per l'expressió:

$$g(x, y, z) = (x, -2x - y, -3x - 3y + 2z)$$

Se sap que la matriu que té per columnes una base de vectors propis de $g$ és:

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculeu els valors propis (VAP) associats a l'endomorfisme $g$ mitjançant dues metodologies diferents:

c)

[1,5 punts] Sense calcular cap polinomi característic.

d)

[2 punts] Obtenint i resolent el polinomi característic de la matriu que pertoqui.

Exercici 2. Endomorfisme a $P_1$, teorema de Cayley-Hamilton i compressió SVD

Part 1:

Es considera l'endomorfisme $f: P_1(x) \rightarrow P_1(x)$, la matriu associada del qual en la base canònica $\{1, x\}$ és:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Es coneix que un dels vectors propis és $p_{\mathrm{VEP}_1}(x) = 5 + x$, i que un valor propi d'aquest endomorfisme és $-3$.

a) Calculeu les matrius $P$ i $D$ tals que $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$ sense plantejar ni resoldre l'equació característica.

$$D = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{pmatrix} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$$

$$\\$$

$$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$$

$$P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{pmatrix} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$$

$$\\$$

$$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$$

Exercici 2. Endomorfisme a $P_1$, teorema de Cayley-Hamilton i compressió SVD

Part 1:

Es considera l'endomorfisme $f: P_1(x) \rightarrow P_1(x)$, la matriu associada del qual en la base canònica $\{1, x\}$ és:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Es coneix que un dels vectors propis és $p_{\mathrm{VEP}_1}(x) = 5 + x$, i que un valor propi d'aquest endomorfisme és $-3$.

b.

[0,75 punts] Determineu la inversa $A^{-1}$ aplicant el teorema de Cayley-Hamilton.

Exercici 2. Endomorfisme a $P_1$, teorema de Cayley-Hamilton i compressió SVD

Part 1:

Es considera l'endomorfisme $f: P_1(x) \rightarrow P_1(x)$, la matriu associada del qual en la base canònica $\{1, x\}$ és:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Es coneix que un dels vectors propis és $p_{\mathrm{VEP}_1}(x) = 5 + x$, i que un valor propi d'aquest endomorfisme és $-3$.

Part 2:

Es disposa d'una imatge de mida $200 \times 100$ píxels representada en memòria en forma de matriu. Amb l'objectiu d'estalviar espai d'emmagatzematge, es planteja comprimir-la utilitzant la descomposició en valors singulars (SVD).

a.

[0,75 punts] Calculeu el nombre $p$ de valors i vectors singulars que cal retenir perquè, un cop truncada la matriu, ocupi exactament el 50% de la memòria de la imatge inicial.

b.

[0,5 punts] Trobeu el valor límit que pot prendre $p$ per tal que el procediment permeti comprimir la imatge (és a dir, sense augmentar la memòria respecte de l'original).