Exercici 1 · Álgebra UB 2016

Exercici 1 [6 punts]. Diagonalització i valors propis d'endomorfismes a $\mathbb{R}^3$

Sigui $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un endomorfisme que té associada la següent matriu (amb $a, b \in \mathbb{R}$):

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ a & a & 2 \end{pmatrix}$$

a)

[1,5 punts] Analitzeu la diagonalitzabilitat de $f$ en funció dels diferents valors que poden prendre els paràmetres reals $a$ i $b$.

b)

[1 punt] En el cas particular en què $a = 0$ i $b = 2$, determineu les matrius $P$ i $D$ tals que $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$.

Es considera ara un segon endomorfisme $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definit per l'expressió:

$$g(x, y, z) = (x, -2x - y, -3x - 3y + 2z)$$

Se sap que la matriu que té per columnes una base de vectors propis de $g$ és:

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculeu els valors propis (VAP) associats a l'endomorfisme $g$ mitjançant dues metodologies diferents:

c)

[1,5 punts] Sense calcular cap polinomi característic.

d)

[2 punts] Obtenint i resolent el polinomi característic de la matriu que pertoqui.