Exercici 2 - Descomposició en valors singulars (S… · Álgebra UB 2016

Exercici 2. Endomorfisme a $P_1$, teorema de Cayley-Hamilton i compressió SVD

Part 1:

Es considera l'endomorfisme $f: P_1(x) \rightarrow P_1(x)$, la matriu associada del qual en la base canònica $\{1, x\}$ és:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Es coneix que un dels vectors propis és $p_{\mathrm{VEP}_1}(x) = 5 + x$, i que un valor propi d'aquest endomorfisme és $-3$.

Part 2:

Es disposa d'una imatge de mida $200 \times 100$ píxels representada en memòria en forma de matriu. Amb l'objectiu d'estalviar espai d'emmagatzematge, es planteja comprimir-la utilitzant la descomposició en valors singulars (SVD).

a.

[0,75 punts] Calculeu el nombre $p$ de valors i vectors singulars que cal retenir perquè, un cop truncada la matriu, ocupi exactament el 50% de la memòria de la imatge inicial.

b.

[0,5 punts] Trobeu el valor límit que pot prendre $p$ per tal que el procediment permeti comprimir la imatge (és a dir, sense augmentar la memòria respecte de l'original).