Exercici 2 - Diagonalització · Álgebra UB 2016

Exercici 2. Endomorfisme a $P_1$, teorema de Cayley-Hamilton i compressió SVD

Part 1:

Es considera l'endomorfisme $f: P_1(x) \rightarrow P_1(x)$, la matriu associada del qual en la base canònica $\{1, x\}$ és:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Es coneix que un dels vectors propis és $p_{\mathrm{VEP}_1}(x) = 5 + x$, i que un valor propi d'aquest endomorfisme és $-3$.

a) Calculeu les matrius $P$ i $D$ tals que $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$ sense plantejar ni resoldre l'equació característica.

$$D = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{pmatrix} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$$

$$\\$$

$$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$$

$$P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{pmatrix} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$$

$$\\$$

$$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$$