Examen de Matemáticas I UB 2017 · 1a Prova - Curs 2017-2018

Pregunta 1 (2 punts). Espai vectorial

a. Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa (C) o falsa (F) (cada encert suma 0,1 punts, les respostes en blanc no penalitzen i les errades resten 0,1 punts):

a.

Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa (C) o falsa (F):

Afirmació

Cert

Fals

b.

Determineu el valor o valors del paràmetre $a$ pels quals els vectors $(1, 1, a)$, $(2, a, 3)$ i $(4, 3, 5)$ són linealment dependents [0,5 punts].

c.

Trobeu per a quins valors de $k$ els vectors $\vec{u} = (1, 2, k)$, $\vec{v} = (4, 5, 6)$ i $\vec{w} = (7, 8, 9)$ formen un sistema de generadors de $\mathbb{R}^3$ [0,5 punts].

Pregunta 1 (2 punts). Espai vectorial

a. Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa (C) o falsa (F) (cada encert suma 0,1 punts, les respostes en blanc no penalitzen i les errades resten 0,1 punts):

Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa (C) o falsa (F) (cada encert suma 0,1 punts, les respostes en blanc no penalitzen i les errades resten 0,1 punts):

Afirmació · Cert · Fals

g) Una base s'anomena ortogonal quan tots els vectors que la formen tenen norma igual a 1.

h) Si $\|\vec{u}\| = 0$, necessàriament es compleix que $\vec{u} = \vec{0}$.

Pregunta 1 (2 punts). Espai vectorial

a. Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa (C) o falsa (F) (cada encert suma 0,1 punts, les respostes en blanc no penalitzen i les errades resten 0,1 punts):

Indiqueu si l'afirmació següent és certa (C) o falsa (F) [0,1 punts]:

Afirmació

Cert

Fals

i) Si un conjunt ve determinat exclusivament mitjançant desigualtats no estrictes, aleshores és un conjunt obert.

Pregunta 1 (2 punts). Espai vectorial

a. Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa (C) o falsa (F) (cada encert suma 0,1 punts, les respostes en blanc no penalitzen i les errades resten 0,1 punts):

Indiqueu si l'afirmació següent és certa (C) o falsa (F) [0,1 punts]:

Afirmació

Cert

Fals

j) Quan una forma quadràtica és indefinida, la seva restricció a qualsevol subespai mantindrà invariable el seu signe.

Pregunta 2 (2 punts). Espai Euclidià

a.

Trobeu el valor o valors de $k$ de manera que la distància entre $\vec{u} = (4, 4)$ i $\vec{w} = (3, k)$ sigui igual a $\sqrt{26}$ [0,5 punts].

b.

Calculeu el valor o valors de $k$ per tal que els vectors $\vec{u} = (k, -1, -3, 0)$ i $\vec{v} = (2k, 2k, -4, 68)$ siguin ortogonals [0,5 punts].

c.

Determineu l'angle format pels vectors $\vec{v} = (3, 1, 0)$ i $\vec{w} = (-1, 2, 3)$ [0,5 punts].

d.

Calculeu per a quins valors de $m$ el vector $\vec{v} = (-2, 2, m)$ té norma 2 [0,5 punts].

Pregunta 3 (2 punts). Base i dimensió d'un subespai

Determineu una possible base (1,5 punts) i la dimensió (0,5 punts) del següent subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$:

$$S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x + y - z = 0\}$$

$\dim(S) =$

$\vec{u}_1 = ($

$,$

$,$

$)$

$\vec{u}_2 = ($

$,$

$,$

$)$

Pregunta 4 (2 punts). Formes quadràtiques

a.

Trobeu la matriu simètrica associada a la forma quadràtica següent i determineu el seu signe mitjançant menors principals (1 punt):

$$f(x, y, z) = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 + 2xy + 4xz$$

b.

Si restringim la forma quadràtica $f(x, y, z)$ al subespai vectorial $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z + x = 0\}$, determineu raonadament el signe de la forma quadràtica restringida (1 punt).

Pregunta 5 (2 punts). Topologia i convexitat a $\mathbb{R}^2$

Considerant el subconjunt de $\mathbb{R}^2$:

$$A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \le 3,\; y + x^2 + 1 > 0\}$$

a.

Representeu gràficament el conjunt $A$ en un pla cartesià (1 punt).

b.

Indiqueu si el conjunt $A$ compleix cadascuna de les següents propietats [1 punt]:

Propietat · Sí · No