Exercici 1 (a-c) - Optimització amb restriccions… · Matemàtiques Ii UB 2024

a. Formula la funció lagrangiana associada al problema.

Solución: $L(x, y, z, \lambda) = 5x^2 - 3y^2 - 10z^2 - \lambda(x + z - 1)$

b. Obtén la coordenada $x$ del punt crític del problema

Solución: 2

b. Obtén la coordenada $y$ del punt crític del problema

Solución: 0

b. Obtén la coordenada $z$ del punt crític del problema

Solución: -1

b. Obtén el multiplicador de Lagrange associat $\lambda$

Solución: 20

c. Classificació del punt crític (màxim o mínim relatiu condicionat)

Solución: Màxim relatiu condicionat

c. Justificació mitjançant les condicions de segon ordre

Solución: La matriu hessiana no restringida és indefinida. Sobre el tangent $x + z = 0 \implies z = -x$, la forma quadràtica restringida és $Q = -10x^2 - 6y^2$, amb matriu $\begin{pmatrix}-10 & 0 \\ 0 & -6\end{pmatrix}$, que és definida negativa. Per tant, és un màxim relatiu condicionat.