Examen de Aplicaciones Informáticas URL 2014 · final 1er parcial Curs 14/15

Pregunta 1 (10%). Veracitat d'afirmacions

Raoneu i discutiu detalladament si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

a.

Si es considera l'equació $x^* Ax = \lambda$, on $x$ representa un vector columna i $A$ és una matriu hermítica, aleshores $\lambda$ és necessàriament un valor real.

Certa

Falsa

Pregunta 1 (10%). Veracitat d'afirmacions

Raoneu i discutiu detalladament si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

b.

Donada una aplicació lineal $T: U \to V$, l'espai imatge associat constitueix un subespai vectorial de l'espai final de destí ($V$).

Certa

Falsa

Pregunta 2 (10%). Equacions en el cos dels nombres complexos

Trobeu les solucions de les equacions següents en què la incògnita $z$ és un nombre complex. Indiqueu els resultats en notació binòmica o polar:

a.

$z^3 + 9 = 0$

b.

$z = (2 + 3i)^{i-1}$

Mòdul $R$:

Argument $\phi$ (rad):

Considerant l'espai vectorial $L^3$ dels polinomis de grau igual o inferior a 2, amb base canònica $E = \{1, x, x^2\}$:

a.

Donada la base $A = \{1 - x^2, x + x^2, 1 - x + x^2\}$, determineu el vector de coordenades del polinomi $g(x) = 3 - 2x - x^2$ respecte d'aquesta base $A$.

$c_1$:

$c_2$:

$c_3$:

Considerant l'espai vectorial $L^3$ dels polinomis de grau igual o inferior a 2, amb base canònica $E = \{1, x, x^2\}$:

b. Es defineix l'aplicació $T: L^3 \rightarrow L^2$ (on $L^2$ és l'espai vectorial de polinomis de grau menor o igual a 1) segons:

$$T(a + bx + cx^2) = (a + b)x + (b + c)$$

Fixada la base $F = \{1 - x, 1 + x\}$ de $L^2$, trobeu la matriu representativa $T_{FE}$ i utilitzeu-la per obtenir les coordenades de la imatge de $g(x)$ en la base $F$.

Pregunta 4 (20%). Ajust lineal per mínims quadrats

La llei de Lambert-Beer descriu una dependència lineal entre l'absorbància ($Abs$) i la concentració de solut ($C$). Per comprovar aquest comportament a concentracions baixes, s'han registrat en laboratori els valors següents:

$C$ · $Abs$

$0$ · $0$

$0.1$ · $0.08$

$0.2$ · $0.22$

$0.5$ · $0.4$

Determineu els paràmetres de la recta de regressió $Abs = a \cdot C + b$ que millor s'ajusta a aquest conjunt de punts i calculeu l'error quadràtic mig associat a l'ajust.

Es considera la matriu real:

$$R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 3/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$

a)

[10%] Determineu l'espectre de la matriu $R$.

b)

[10%] Calculeu els vectors propis associats i normalitzeu-los respecte al producte escalar estàndard.

Es considera la matriu real:

$$R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 3/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$

c)

(15%) Raoneu si és possible calcular $\ln(R)$ i, en cas afirmatiu, trobeu-ne el resultat explícit.

Pregunta 6 (10%). Procés d'ortonormalització de Gram-Schmidt

Sigui $B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ una base de l'espai vectorial $U^3$.

Ortonormalitzeu la base $B$ aplicant el procediment de Gram-Schmidt, sabent que la matriu de la mètrica de la base de referència és la identitat ($S_0 = I$, és a dir, el producte escalar ordinari).