Examen de Cálculo en una Variable UPC 2013 · 1r Semestre Gener 2013

PROBLEMA 1 [1 punt]. Arrels d'un nombre complex

Considerant que $w_0 = 1 + j$ constitueix una de les arrels cúbiques d'un cert nombre complex $Z$, determineu el valor de $Z$ així com les arrels cúbiques restants.

PROBLEMA 2 (1 punt). Càlcul de límit mitjançant infinitèsims equivalents

Calculeu el valor del següent límit quan $n \to \infty$:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left(1 - \cos\left(\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)\right)}{\ln\left(1 + \frac{n^2}{n^2+1}\right) \cdot \left(e^{\frac{1}{n^2}} - 1\right)}$$

PROBLEMA 3 (2 punts). Determinació del nombre de zeros mitjançant teoremes fonamentals

Considereu la funció real de variable real donada per $f(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{4}{5}x$.

Com a suport per als càlculs, disposeu de la següent taula amb valors coneguts de $y = \operatorname{arctg} x$:

x

-1

-1/2

-1/4

0

1/4

1/2

1

y = arctg x

-0.78

-0.46

-0.24

0

0.24

0.46

0.78

a.

Determineu el nombre exacte d'arrels reals que posseeix la funció emprant els teoremes per a funcions contínues i derivables.

b.

Indiqueu intervals disjunts que continguin cadascun dels zeros identificats.

PROBLEMA 4 (1,5 punts). Estudi de continuïtat i derivabilitat per definició

Analitzeu la continuïtat i la derivabilitat (calculant les derivades mitjançant la seva definició com a límit) de la següent funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2} & \text{si } -1 < x < 0 \\[2ex] e^x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\[2ex] e \cdot x & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}$$

1.

Estudi a $x = 0$:

Sí

No

Sí

No

2.

Estudi a $x = 1$:

Sí

No

Sí

No

PROBLEMA 5 [2 punts]. Polinomi de Taylor i terme d'error

Trobeu el polinomi de Taylor d'ordre 2 centrat a l'origen ($x = 0$) per a la funció $f(x) = \ln(1 + \sin x)$, i determineu l'expressió del terme del residu o error corresponent en la forma de Lagrange.

$P_2(x) =$

$f'''(x) =$

$R_2(x) =$

PROBLEMA 6 (2,5 punts). Estudi i gràfica d'una funció

Feu un estudi complet i representeu gràficament la funció:

$$f(x) = 3x + x^{-2}$$

Especifiqueu de manera clara el domini, els intervals de creixement i decreixement (extrems relatius), els intervals de concavitat i convexitat, així com l'equació de totes les seves asímptotes.