PROBLEMA 3 · Cálculo en una Variable UPC 2013
Tema: Teoremes de funcions contínues i derivables · Del examen Examen 1r Semestre Gener 2013 (2013)
Enunciado
PROBLEMA 3 (2 punts). Determinació del nombre de zeros mitjançant teoremes fonamentals
Considereu la funció real de variable real donada per .
Com a suport per als càlculs, disposeu de la següent taula amb valors coneguts de :
x
-1
-1/2
-1/4
0
1/4
1/2
1
y = arctg x
-0.78
-0.46
-0.24
0
0.24
0.46
0.78
a.
Determineu el nombre exacte d'arrels reals que posseeix la funció emprant els teoremes per a funcions contínues i derivables.
b.
Indiqueu intervals disjunts que continguin cadascun dels zeros identificats.
Solución
Según los criterios oficiales de corrección
a. Determineu el nombre exacte d'arrels reals que posseeix la funció emprant els teoremes per a funcions contínues i derivables.
Solución: 3
Justificació emprant els teoremes (Rolle i Bolzano)
Solución: La derivada s'anul·la en x = ±1/2, per tant per Rolle hi ha com a màxim 3 arrels. Avaluant la funció als intervals (-∞, -1/2), (-1/2, 1/2) i (1/2, ∞) es comprova mitjançant Bolzano que hi ha un canvi de signe a cadascun, existint exactament 3 arrels.
b. Interval que conté el zero negatiu
Solución: (-1, -1/2) / (-∞, -1/2)
b. Segon zero (arrel central o interval que la conté)
Solución: 0 / (-1/4, 1/4)
b. Interval que conté el zero positiu
Solución: (1/2, 1) / (1/2, +∞)
La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium
Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.