PROBLEMA 6 · Cálculo en una Variable UPC 2013

Especifiqueu de manera clara el domini de f(x)

Solución: $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Talls amb els eixos

Solución: No talla l'eix $y$; talla l'eix $x$ en $x = \sqrt[3]{-\frac{1}{3}}$

Intervals de creixement i decreixement (extrems relatius)

Solución: Creixent a $(-\infty, 0) \cup (\sqrt[3]{2/3}, +\infty)$; decreixent a $(0, \sqrt[3]{2/3})$; mínim relatiu a $x = \sqrt[3]{2/3}$

Intervals de concavitat i convexitat (punts d'inflexió)

Solución: Còncava cap amunt (convexa) a tot el domini: $(-\infty, 0)$ i $(0, +\infty)$; no té punts d'inflexió

Equació de totes les seves asímptotes

Solución: Asímptota vertical: $x = 0$; Asímptota obliqua: $y = 3x$ (quan $x \to \pm\infty$)

Representació gràfica de la funció f(x)

Solución: Gràfica de la funció amb dues branques separades per l'asímptota vertical $x = 0$. A la branca esquerra ($x < 0$), la funció creix des de l'asímptota obliqua $y = 3x$ (per sota), talla l'eix $x$ a $x = \sqrt[3]{-1/3} \approx -0{,}69$ i s'enfila cap a $+\infty$ vora $x = 0^-$. A la branca dreta ($x > 0$), la funció baixa des de $+\infty$ a $x = 0^+$, assoleix un mínim relatiu a $x = \sqrt[3]{2/3} \approx 0{,}87$ (amb valor $f(x) \approx 3{,}93$) i torna a créixer acostant-se per sobre a l'asímptota $y = 3x$. Tota la corba és convexa (còncava cap amunt).