Problema 5 · Cálculo en una Variable UPC Juny 2012

a. Domini de definició, simetria i punts de tall amb els eixos.

Solución: Domini: $\mathbb{R}$. Punt de tall: $(0,0)$. No presenta simetria.

b. Intervals de creixement i decreixement, i extrems relatius.

Solución: Decreixent a $(-\infty, 0) \cup (2/3, +\infty)$; creixent a $(0, 2/3)$. Mínim relatiu (i absolut, punt angulós) a $(0,0)$; màxim relatiu a $\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt[3]{4/9}}{e^{2/3}}\right)$.

c. Concavitat, convexitat i punts d'inflexió.

Solución: Punts d'inflexió a $x_1 = \frac{2 - \sqrt{6}}{3} \approx -0{,}15$ i $x_2 = \frac{2 + \sqrt{6}}{3} \approx 1{,}48$. Convexa (còncava cap amunt) a $\left(-\infty, \frac{2-\sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{2+\sqrt{6}}{3}, +\infty\right)$; còncava (còncava cap avall) a $\left(\frac{2-\sqrt{6}}{3}, 0\right) \cup \left(0, \frac{2+\sqrt{6}}{3}\right)$.

d. Asímptotes.

Solución: No té asímptotes verticals. Asímptota horitzontal $y = 0$ quan $x \to +\infty$. Quan $x \to -\infty$ no té asímptota horitzontal (tendeix a $+\infty$).

Representació gràfica de la funció.

Solución: Gràfica de la funció $f(x)$ que mostra: 1. Punt angulós (mínim absolut) a l'origen $(0,0)$. 2. Decreixement a $(-\infty, 0)$ amb branca que creix cap a $+\infty$ quan $x \to -\infty$. 3. Creixement a $(0, 2/3)$ fins a un màxim local a $\left(2/3, \frac{\sqrt[3]{4/9}}{e^{2/3}}\right) \approx (0{,}67, 0{,}39)$. 4. Decreixement asimptòtic cap a l'eix $X$ ($y = 0$) quan $x \to +\infty$. 5. Dos punts d'inflexió a $x_1 \approx -0{,}15$ i $x_2 \approx 1{,}48$.