Examen de Matemáticas UVIC 2022 · Parcial II - Curs 2022/2023

Concentració d'oxigen dissolt en estanys

La fluctuació diària de la concentració d'oxigen dissolt en un estany amb elevada presència de plàncton ve descrita pel model polinòmic:

$$D(x) = -13x^3 + 466x^2 - 3463x + 10000$$

on $D(x)$ mesura la concentració d'oxigen dissolt expressada en $\mu\text{g}/l$ i la variable $x$ representa l'hora del dia en format de 24 hores ($x \in [0, 24]$).

a.

Determineu els intervals de creixement i de decreixement que presenta la funció en aquest període.

[0,75 punts]

b.

Indiqueu a quina hora exacta s'assoleix el màxim nivell d'oxigen dissolt i quin valor pren aquesta concentració màxima.

[0,75 punts]

c.

Calculeu a quina hora es produeix el mínim diari de concentració d'oxigen i determineu el seu valor.

[0,75 punts]

Concentració d'oxigen dissolt en estanys

La fluctuació diària de la concentració d'oxigen dissolt en un estany amb elevada presència de plàncton ve descrita pel model polinòmic:

$$D(x) = -13x^3 + 466x^2 - 3463x + 10000$$

on $D(x)$ mesura la concentració d'oxigen dissolt expressada en $\mu\text{g}/l$ i la variable $x$ representa l'hora del dia en format de 24 hores ($x \in [0, 24]$).

d. (*)

Calculeu el valor mitjà diari de la concentració d'oxigen dissolt a l'estany utilitzant el càlcul integral.

[*1 punt]

L'expressió que descriu la velocitat $V$ d'una reacció catalitzada per un enzim en funció de la concentració de substrat $S$ ve establerta pel model de Michaelis-Menten:

$$V(S) = V_{\max} \frac{S}{K_m + S} \qquad (1)$$ on $V_{\max} > 0$ i $K_m > 0$ són paràmetres positius. La magnitud $K_m$ rep el nom de constant de Michaelis-Menten i indica el nivell de substrat requerit perquè la velocitat de reacció assoleixi la meitat del límit teòric, $V_{\max}/2$.

a.

Estudieu el creixement o decreixement de la velocitat $V$ en funció de $S$ per a valors biològics ($S \ge 0$). [1 punt]

b.

Analitzeu el comportament asimptòtic de la velocitat quan la concentració de substrat es fa arbitràriament gran ($S \to \infty$). [0,75 punts]

c.

Determineu quin és el valor màxim que pot assolir la funció i indiqueu per a quina concentració $S$ s'obté. [0,5 punts]

L'expressió que descriu la velocitat $V$ d'una reacció catalitzada per un enzim en funció de la concentració de substrat $S$ ve establerta pel model de Michaelis-Menten:

$$V(S) = V_{\max} \frac{S}{K_m + S} \qquad (1)$$ on $V_{\max} > 0$ i $K_m > 0$ són paràmetres positius. La magnitud $K_m$ rep el nom de constant de Michaelis-Menten i indica el nivell de substrat requerit perquè la velocitat de reacció assoleixi la meitat del límit teòric, $V_{\max}/2$.

d. (*) Una representació clàssica de dades cinètiques és la gràfica de dobles recíprocs de Lineweaver-Burk, que relaciona linealment $1/S$ en abscisses amb $1/V$ en ordenades segons:

$$\frac{1}{V} = \frac{K_m}{V_{\max} S} + \frac{1}{V_{\max}}$$

Aïlleu la variable $V$ d'aquesta equació i comproveu la relació que manté amb l'expressió original de Michaelis-Menten (1). [*1 punt]

1.

2.

Pregunta 3 (2,25 punts). Vessament i degradació d'un contaminant en un llac

A causa d'un incident industrial s'han abocat $2\text{ km}^3$ d'una substància contaminant a un llac. El procés de degradació temporal d'aquest compost segueix una dinàmica directament proporcional al volum de residu encara present. Sent $Q(t)$ el volum de contaminant (en $\text{km}^3$) al llac en el temps $t$ (mesurat en anys), el fenomen es descriu per l'equació diferencial:

$$Q'(t) = k\,Q(t)$$

on $k$ denota la constant de proporcionalitat. Se sap que al cap de 5 anys de l'abocament inicial romanen $1{,}5\text{ km}^3$ de contaminant.

a)

Deduïu la funció explícita $Q(t)$ que modela l'evolució temporal de la quantitat de contaminant. [1,5 punts]

$Q(t) =$

b)

Calculeu la quantitat de contaminant que quedarà al llac un cop transcorreguts 20 anys des del vessament. [0,25 punts]

c)

Determineu el temps que haurà de transcórrer perquè s'hagi assolit la degradació del 90% del volum original de contaminant. [0,5 punts]

Pregunta 4. Dinàmica de població de peixos halibut

L'evolució de la població d'halibut del Pacífic es regeix per una dinàmica logística de la forma:

$$\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$$ on $P(t)$ representa la biomassa en milers de tones en funció de l'any $t$, la capacitat de càrrega de l'hàbitat és $K = 80$ i la taxa intrínseca de creixement val $r = 0{,}7$. Inicialment, la biomassa representa la quarta part de la capacitat màxima de càrrega del medi.

a.

Troba la solució explícita per a la biomassa $P(t)$. [1,75 punts]

b.

Calcula la biomassa esperada en transcórrer exactament un any. [0,5 punts]

milers de tones

Pregunta 4. Dinàmica de població de peixos halibut

L'evolució de la població d'halibut del Pacífic es regeix per una dinàmica logística de la forma:

$$\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$$ on $P(t)$ representa la biomassa en milers de tones en funció de l'any $t$, la capacitat de càrrega de l'hàbitat és $K = 80$ i la taxa intrínseca de creixement val $r = 0{,}7$. Inicialment, la biomassa representa la quarta part de la capacitat màxima de càrrega del medi.

c) (*)

Suposem que s'introdueix una activitat pesquera amb una funció de captura depenent de la biomassa:

$$T(P) = \frac{63P}{100 + 2P}$$

de manera que l'equació diferencial que descriu el model passa a ser:

$$\frac{dP}{dt} = 0{,}7P\left(1 - \frac{P}{80}\right) - \frac{63P}{100 + 2P}$$

Determineu els punts d'equilibri biològics del sistema i establiu-ne la seva estabilitat. Descriviu quin efecte a llarg termini tindrà aquesta intensitat de pesca sobre el recurs i raoneu si es tracta d'una activitat sostenible.