Pregunta 4.c (*) · Matemáticas UVIC 2022

Pregunta 4. Dinàmica de població de peixos halibut

L'evolució de la població d'halibut del Pacífic es regeix per una dinàmica logística de la forma:

$$\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$$ on $P(t)$ representa la biomassa en milers de tones en funció de l'any $t$, la capacitat de càrrega de l'hàbitat és $K = 80$ i la taxa intrínseca de creixement val $r = 0{,}7$. Inicialment, la biomassa representa la quarta part de la capacitat màxima de càrrega del medi.

c) (*)

Suposem que s'introdueix una activitat pesquera amb una funció de captura depenent de la biomassa:

$$T(P) = \frac{63P}{100 + 2P}$$

de manera que l'equació diferencial que descriu el model passa a ser:

$$\frac{dP}{dt} = 0{,}7P\left(1 - \frac{P}{80}\right) - \frac{63P}{100 + 2P}$$

Determineu els punts d'equilibri biològics del sistema i establiu-ne la seva estabilitat. Descriviu quin efecte a llarg termini tindrà aquesta intensitat de pesca sobre el recurs i raoneu si es tracta d'una activitat sostenible.