Pregunta 3 · Matemáticas UVIC 2022

Pregunta 3 (2,25 punts). Vessament i degradació d'un contaminant en un llac

A causa d'un incident industrial s'han abocat $2\text{ km}^3$ d'una substància contaminant a un llac. El procés de degradació temporal d'aquest compost segueix una dinàmica directament proporcional al volum de residu encara present. Sent $Q(t)$ el volum de contaminant (en $\text{km}^3$) al llac en el temps $t$ (mesurat en anys), el fenomen es descriu per l'equació diferencial:

$$Q'(t) = k\,Q(t)$$

on $k$ denota la constant de proporcionalitat. Se sap que al cap de 5 anys de l'abocament inicial romanen $1{,}5\text{ km}^3$ de contaminant.

a)

Deduïu la funció explícita $Q(t)$ que modela l'evolució temporal de la quantitat de contaminant. [1,5 punts]

$Q(t) =$

b)

Calculeu la quantitat de contaminant que quedarà al llac un cop transcorreguts 20 anys des del vessament. [0,25 punts]

c)

Determineu el temps que haurà de transcórrer perquè s'hagi assolit la degradació del 90% del volum original de contaminant. [0,5 punts]