Exercici 3 · Álgebra UAB 2020

Exercici 3 (3 punts). Diagonalització i potències d'una matriu

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$$

a.

Calculeu tots els valors propis associats a la matriu $A$. [1 punt]

,

,

b.

Trobeu una matriu invertible $P$ i una matriu diagonal $D$ tals que $A = PDP^{-1}$. [1 punt]

Introduïu els elements de les matrius $D$ i $P$ de manera coherent (les columnes de $P$ han de ser els vectors propis corresponents als valors propis de la diagonal de $D$, segons la base trobada en la resolució oficial):

c.

Obtingueu una expressió explícita per als elements de la matriu potència $A^m$, on $m \in \mathbb{N}$ ($m = 1, 2, 3, \dots$). [1 punt]

Podeu escriure els elements segons la paritat de $m$ (calculeu els valors de la matriu per a $m$ senar i per a $m$ parell):