Exercici 1 · Álgebra UAB 2020

Exercici 1 (3 punts). Aplicació lineal, nucli i imatge

Sigui l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definida per l'expressió:

$$f(x, y, z, t) = (x + 2y + 3z,\, y + 2z + t,\, 2x + 5y + 8z + t)$$

Resoleu els apartats següents:

a.

Trobeu una base i determineu la dimensió del nucli $\operatorname{Ker}(f) \subseteq \mathbb{R}^4$. [1 punt]

b.

Determineu una base i la dimensió del subespai imatge $\operatorname{Im}(f) \subseteq \mathbb{R}^3$. [1 punt]

c.

Determineu per a quins valors del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ el vector $(a, a + 2, 0)$ pertany a $\operatorname{Im}(f)$. Indiqueu a més un exemple d'un vector de $\mathbb{R}^3$ que no formi part de la imatge de $f$. [1 punt]