Problema 1 · Álgebra UAB 2020

Enunciado

Exercici 1. Nombres complexos i factorització de polinomis

Resoleu els apartats següents relacionats amb el cos dels nombres complexos i polinomis:

Trobeu la representació polar i cartesiana dels nombres $z$ i $z^{12}$ tenint en compte que $z = -1 - i$ .

[1 punt]

Determineu tots els valors $w \in \mathbb{C}$ tals que satisfan $w^3 = -8$ .

[1 punt]

Descomponeu en factors irreductibles el polinomi $p(x) = x^3 + 8$ en els anells $\mathbb{C}[x]$ i $\mathbb{R}[x]$ .

[2 punts]

Enunciado: Problema 1 · Álgebra UAB 2020

Según los criterios oficiales de corrección

a) Trobeu la representació polar de z

Solución: $\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$ / $\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}}$ / $\sqrt{2}_{-\frac{3\pi}{4}}$

a) Trobeu la representació polar de z^{12}

Solución: $64e^{i\pi}$ / $64_\pi$

a) Trobeu la representació cartesiana de z^{12}

Solución: -64

b) Determineu tots els valors w in C tals que satisfan w^3 = -8

Solución: $-2$ , $1 + \sqrt{3}i$ , $1 - \sqrt{3}i$

c) Descomponeu en factors irreductibles el polinomi p(x) = x^3 + 8 a C[x]

Solución: $(x+2)(x - (1+\sqrt{3}i))(x - (1-\sqrt{3}i))$

c) Descomponeu en factors irreductibles el polinomi p(x) = x^3 + 8 a R[x]

Solución: $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.