Examen de Matemàtiques UAB 2023 · Parcial de (Novembre 2023)

Exercici 1 (3 punts). Escala logarítmica de pH

L'acidesa d'una solució química es mesura mitjançant l'escala logarítmica de pH, la qual es defineix segons l'expressió:

$$\mathrm{pH} = -\log_{10}([H^+])$$

Això expressa que el pH correspon al logaritme decimal de l'invers de la concentració d'ions hidrogen $[H^+]$, expressada en mols per litre.

a.

Trobeu la concentració d'ions hidrogen (en mol/L) present en una dissolució amb un pH igual a 6.

b.

Si dues dissolucions A i B presenten una diferència de pH de -3,5 (és a dir, $\mathrm{pH}_A - \mathrm{pH}_B = -3,5$), determineu quantes vegades és més gran la concentració d'ions hidrogen de la dissolució A respecte a la de la dissolució B.

Un productor compta amb un romanent d'estoc i utilitza un model matemàtic per preveure la quantitat de producte, en quilos, que aconseguirà vendre en funció del preu unitari fixat $p$ (€/quilo):

$$Q(p) = Q_0 \frac{e^{-ap}}{\sqrt{p}} = Q_0 p^{-1/2} e^{-ap}$$

on $Q_0$ i $a$ són constants estrictament positives.

Exercici 2. Apartat a: Decreixement i comportament asimptòtic

a.1

Justifiqueu des d'un punt de vista matemàtic que la funció de demanda $Q(p)$ és estrictament decreixent per a qualsevol $p > 0$ (argumentant sense derivar o bé mitjançant la derivada primera).

a.2

Descriviu la tendència del gràfic de $Q(p)$ per a $p > 0$ analitzant els límits rellevants:

$\lim_{p \to 0^+} Q(p) =$

$\lim_{p \to +\infty} Q(p) =$

Un productor compta amb un romanent d'estoc i utilitza un model matemàtic per preveure la quantitat de producte, en quilos, que aconseguirà vendre en funció del preu unitari fixat $p$ (€/quilo):

$$Q(p) = Q_0 \frac{e^{-ap}}{\sqrt{p}} = Q_0 p^{-1/2} e^{-ap}$$

on $Q_0$ i $a$ són constants estrictament positives.

b.

Expliqueu per què la funció d'ingressos o beneficis per la venda a preu $p$ s'expressa com:

$$B(p) = Q_0\sqrt{p}\,e^{-ap} = Q_0 p^{1/2} e^{-ap}, \quad p \ge 0$$

c.

Trobeu el preu $p$ que permet assolir el màxim benefici, el valor d'aquest benefici màxim i el volum de quilos que s'arribarà a comercialitzar a aquest preu. Justifiqueu que es tracta d'un màxim absolut sense necessitat de recórrer a la segona derivada ( Indicació: avalueu $B(0)$ i empreu el fet que $\lim_{p\to\infty} B(p) = 0$). Expresseu els resultats en funció dels paràmetres $Q_0$ i $a$.

Exercici 3 (3 punts). Càlcul del temps d'extinció per sobreexplotació

En una zona marítima es captura una espècie piscícola d'elevat interès comercial sota un règim constant de sobrepesca. Sota aquest escenari, si la densitat actual de biomassa és de $M$ tones/km², el temps (expressat en unitats temporals adients) necessari perquè la densitat davalli fins a un nivell $N$ ve determinat per la següent integral:

$$\int_N^M \frac{K}{r\left(\frac{K}{2}-x\right)^2}\,dx$$

on $r$ (taxa intrínseca de creixement malthusià) i $K$ (capacitat de càrrega de l'hàbitat) són constants positives que verifiquen $N < M < \frac{K}{2}$.

Determineu el temps que trigarà la població de peixos a extingir-se del tot. Proporcioneu la solució analítica en funció dels paràmetres del model.

Indicació: tracteu la integració com una fracció simple o una integral immediata del tipus potència.

$T =$