Exercici 3 · Matemàtiques UAB 2023

Exercici 3 (3 punts). Càlcul del temps d'extinció per sobreexplotació

En una zona marítima es captura una espècie piscícola d'elevat interès comercial sota un règim constant de sobrepesca. Sota aquest escenari, si la densitat actual de biomassa és de $M$ tones/km², el temps (expressat en unitats temporals adients) necessari perquè la densitat davalli fins a un nivell $N$ ve determinat per la següent integral:

$$\int_N^M \frac{K}{r\left(\frac{K}{2}-x\right)^2}\,dx$$

on $r$ (taxa intrínseca de creixement malthusià) i $K$ (capacitat de càrrega de l'hàbitat) són constants positives que verifiquen $N < M < \frac{K}{2}$.

Determineu el temps que trigarà la població de peixos a extingir-se del tot. Proporcioneu la solució analítica en funció dels paràmetres del model.

Indicació: tracteu la integració com una fracció simple o una integral immediata del tipus potència.

$T =$