Ejercicio 2 - Derivació i optimització amb paràmetres · Matemàtiques UAB 2023

Tema: Derivació i optimització amb paràmetres · Del examen Examen Parcial de Matemàtiques (Novembre 2023) (2023)

Enunciado

Un productor compta amb un romanent d'estoc i utilitza un model matemàtic per preveure la quantitat de producte, en quilos, que aconseguirà vendre en funció del preu unitari fixat pp (€/quilo):

Q(p)=Q0e−app=Q0p−1/2e−apQ(p) = Q_0 \frac{e^{-ap}}{\sqrt{p}} = Q_0 p^{-1/2} e^{-ap}

on Q0Q_0 i aa són constants estrictament positives.

b.

Expliqueu per què la funció d'ingressos o beneficis per la venda a preu pp s'expressa com:

B(p)=Q0p e−ap=Q0p1/2e−ap,p≥0B(p) = Q_0\sqrt{p}\,e^{-ap} = Q_0 p^{1/2} e^{-ap}, \quad p \ge 0

c.

Trobeu el preu pp que permet assolir el màxim benefici, el valor d'aquest benefici màxim i el volum de quilos que s'arribarà a comercialitzar a aquest preu. Justifiqueu que es tracta d'un màxim absolut sense necessitat de recórrer a la segona derivada ( Indicació: avalueu B(0)B(0) i empreu el fet que lim⁡p→∞B(p)=0\lim_{p\to\infty} B(p) = 0). Expresseu els resultats en funció dels paràmetres Q0Q_0 i aa.

Enunciado: Ejercicio 2 - Derivació i optimització amb paràmetres · Matemàtiques UAB 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

b. Expliqueu per què la funció d'ingressos o beneficis per la venda a preu pp s'expressa com B(p)=Q0p e−apB(p) = Q_0\sqrt{p}\,e^{-ap}

Solución: El benefici total generat és el producte de la quantitat total de quilos venuts pel preu unitari al qual es comercialitza cada quilo: B(p)=Q(p)⋅pB(p) = Q(p) \cdot p

c. Preu òptim p∗p^* que permet assolir el màxim benefici

Solución: p∗=12ap^* = \frac{1}{2a}

c. Valor del benefici màxim B(p∗)B(p^*)

Solución: Q02ae\frac{Q_0}{\sqrt{2ae}} / Q0(12a)1/2e−1/2Q_0\left(\frac{1}{2a}\right)^{1/2} e^{-1/2}

c. Volum de quilos que s'arribarà a comercialitzar a aquest preu Q(p∗)Q(p^*)

Solución: Q02aeQ_0\sqrt{\frac{2a}{e}} / Q02a e−1/2Q_0\sqrt{2a}\,e^{-1/2}

c. Justifiqueu que es tracta d'un màxim absolut sense necessitat de recórrer a la segona derivada

Solución: La funció B(p)B(p) és contínua a [0,∞)[0, \infty), amb B(0)=0B(0) = 0, B(p)>0B(p) > 0 per a tot p>0p > 0 i lim⁡p→∞B(p)=0\lim_{p\to\infty} B(p) = 0. Atès que p=12ap = \frac{1}{2a} és l'únic punt crític a l'interval (0,∞)(0, \infty), aquest ha de correspondre necessàriament al màxim absolut de la funció.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Problema 2 · 2022 ›

Más ejercicios de Derivació i optimització amb paràmetres