Examen de Matemàtiques UAB 2023 · Segona Avaluació (20 de gener de 2023)

Exercici 1 (4 punts). Dinàmica de poblacions estructurada per edats

Considerem una població estructurada en dos estadis o classes d'edat: individus joves (infèrtils) i individus adults (fèrtils). Cada adult produeix una mitjana de 4 nous individus joves cada any. A més, un 40% dels joves aconsegueix sobreviure i madurar cap a la classe adulta, mentre que el 60% dels adults sobreviu d'un any per l'altre.

a)

Determineu la matriu quadrada d'ordre dos $A$ que satisfà la relació:

$$\begin{pmatrix} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$$

on $p_n$ i $q_n$ indiquen, respectivament, el nombre d'individus joves i adults presents l'any $n$.

b)

Si es parteix d'una població inicial de 10 individus joves i 10 individus adults, determineu quants joves hi haurà al cap d'un any i quants n'hi haurà transcorreguts dos anys.

c)

Trobeu els valors propis i els vectors propis associats a la matriu $A$.

d)

A llarg termini, s'espera que la població creixi? Amb quin ritme ho farà? Quina proporció de joves per adult s'assolirà amb el pas del temps?

Sí

No

% per any

Exercici 2 (3 punts). Equació diferencial lineal de primer ordre

Es considera l'equació diferencial lineal de primer ordre:

$$y' = 2y - 3e^{-x}$$

a.

Comproveu que la funció $y(x) = e^{-x}$ és una solució particular d'aquesta equació calculant la seva derivada $y'(x)$ i el valor del membre dret $2y - 3e^{-x}$:

b.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial donada, tenint en compte el resultat de l'apartat anterior.

Exercici 3. Modelització de la densitat poblacional i punts d'equilibri

La densitat $x(t)$ d'una determinada espècie que es troba sotmesa a una extracció o captura a ritme constant (per exemple, per causa de la pesca) s'ajusta, en les unitats corresponents, a l'equació diferencial:

$$\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{10}(x - 9)(x - 1)$$

a)

Trobeu les densitats d'equilibri (és a dir, les solucions constants o independents del temps $t$) d'aquesta equació.

$x_1 =$ $x_2 =$

Exercici 3. Modelització de la densitat poblacional i punts d'equilibri

La densitat $x(t)$ d'una determinada espècie que es troba sotmesa a una extracció o captura a ritme constant (per exemple, per causa de la pesca) s'ajusta, en les unitats corresponents, a l'equació diferencial:

$$\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{10}(x - 9)(x - 1)$$

b)

Calculeu l'expressió explícita de la densitat per a temps $t > 0$ si inicialment la densitat és $x(0) = 2$.

Indicació: feu servir la descomposició en fraccions simples:$$\frac{1}{(x-9)(x-1)} = \frac{1}{8}\left(\frac{1}{x-9} - \frac{1}{x-1}\right)$$

c)

Determineu el valor límit d'aquesta densitat quan el temps tendeix a l'infinit ($t \to \infty$).