Examen de Matemàtiques UAB 2019 · segon parcial gener 2019

Problema 1. Llei de Gompertz i modelització del creixement

Es diu que el patró de creixement d'una espècie obeeix la llei de Gompertz si el logaritme de la seva talla evoluciona d'acord amb el model de von Bertalanffy. Denotant per $L(t)$ la longitud d'un individu en el temps $t$, es verifica la següent relació:$$\frac{d}{dt} \ln L = r(\ln L_\infty - \ln L)$$on els paràmetres $r$ i $L_\infty$ són constants estrictament positives.

a)

Resoleu l'equació diferencial precedent i deduïu la funció $\ln L$. Escriviu l'expressió de $\ln L(t)$ en funció de $\ln L_\infty$, una constant arbitrària $k$ i el terme temporal:

b)

Trobeu la funció $L(t)$ aïllant a partir de l'expressió anterior:

Justifiqueu el valor del límit asimptòtic $\lim_{t \to \infty} L(t)$ quan $r > 0$:

c)

Assumint que $L(0) < L_\infty$, demostreu que la funció $L(t)$ és monòtona creixent en tot el seu domini (calculeu $L'(t)$ i raoneu el signe de la derivada):

d)

Sota el mateix supòsit $L(0) < L_\infty$, proveu que la gràfica de $L(t)$ presenta un punt d'inflexió quan la longitud arriba a una certa fracció de la grandària asimptòtica $L_\infty$.

Quin valor pren la relació $\frac{L(t)}{L_\infty}$ en el punt d'inflexió (fracció exacta o decimal)?

Desenvolupament i càlcul de $L''(t)$:

Problema 2. Dinàmica lineal d'un sistema predador-presa

Considerem el vector de funcions $(x(t), y(t))$ obtingut com a combinació lineal dels vectors $e^{2t}(\sin t, \cos t)$ i $e^{2t}(\cos t, -\sin t)$.

a.

Comproveu que les components $x(t)$ i $y(t)$ verifiquen el sistema d'equacions diferencials lineals següent:$$\begin{cases} x' = 2x + y \\ y' = -x + 2y \end{cases}$$

b.

Se sap que $x(t)$ i $y(t)$ descriuen el cens (en mesos) d'una població de predadors i de les seves preses, respectivament. Determineu l'expressió explícita de $x(t)$ i $y(t)$ sabent que a l'instant inicial $t = 0$ hi ha un recompte de 150 predadors i 100 preses.

c.

Calculeu en quin instant de temps s'arriba a l'extinció de la població de preses.

Problema 3. Dinàmica matricial d'una població estructurada en edats

Es considera un model demogràfic discret on la població està dividida en dos estadis de desenvolupament: individus joves i adults. Siguin $j_n$ i $a_n$ les quantitats respectives a l'any $n$. Els processos anuals segueixen aquestes regles:

Cada individu adult produeix 2 nous joves a l'any.

Una fracció d'1/4 dels joves assoleix l'edat adulta; els restants no sobreviuen.

El 50% dels adults sobreviu d'un any per l'altre.

a)

Justifiqueu que la transició anual es pot formular en termes matricials com $\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$, amb $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}$.

b)

Trobeu els valors propis de la matriu $A$ i construïu una base de $\mathbb{R}^2$ formada per vectors propis.

c)

Suposant una població inicial amb $j_0 = 400$ joves i $a_0 = 500$ adults, escriviu el vector $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix}$ com a combinació lineal dels vectors propis i deduïu el valor del vector al cap de 6 anys, $\begin{pmatrix} j_6 \\ a_6 \end{pmatrix}$.

d)

Calculeu la proporció asimptòtica entre joves i adults calculant el límit $\lim_{n\to\infty} \frac{j_n}{a_n}$.

Problema 4. Qüestions conceptuals de cert o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les proposicions següents és certa o falsa:

a.

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$, existeix una base de l'espai vectorial $\mathbb{R}^2$ formada exclusivament per vectors propis de $A$.

Certa

Falsa

Problema 4. Qüestions conceptuals de cert o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les proposicions següents és certa o falsa:

b.

La condició que cap de les files d'una matriu quadrada sigui nul·la és equivalent al fet que la dita matriu sigui invertible.

Certa

Falsa

Problema 4. Qüestions conceptuals de cert o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les proposicions següents és certa o falsa:

c.

La família de funcions $y(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{C}{x^2}$ (amb $C \in \mathbb{R}$) són solucions de l'equació diferencial lineal de primer ordre $xy' + 2y = x^2$.

Certa

Falsa

Problema 4. Qüestions conceptuals de cert o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les proposicions següents és certa o falsa:

d.

Si $y(t)$ satisfà l'equació diferencial logística $y' = ry(1 - y/10^5)$ amb la condició inicial $y(0) = 100$, la gràfica de $y(t)$ posseeix un punt d'inflexió en l'instant $t_0$ en què $y(t_0) = 5000$.

Certa

Falsa