Problema 3 · Matemàtiques UAB 2019

a) Justifiqueu que la transició anual es pot formular en termes matricials com $\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$, amb $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}$.

Solución: $\begin{cases} j_{n+1} = 2a_n \\ a_{n+1} = \frac{1}{4}j_n + \frac{1}{2}a_n \end{cases} \implies \begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$

b) Valor propi dominant $\lambda_1$:

Solución: 1

b) Segon valor propi $\lambda_2$:

Solución: -1/2 / -0.5

b) Deducció i vectors propis associats que formen la base:

Solución: Base: $u_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ i $u_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$

c) Quantitat de joves al cap de 6 anys, $j_6$:

Solución: 793.75 / 800 - 400/64

c) Quantitat d'adults al cap de 6 anys, $a_6$:

Solución: 401.5625 / 400 + 100/64

c) Desenvolupament i combinació lineal:

Solución: $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix} = 400 u_1 + 100 u_2$

d) Valor del límit $\lim_{n\to\infty} \frac{j_n}{a_n}$:

Solución: 2

d) Justificació del càlcul del límit:

Solución: Com que $|\lambda_2| < 1$, el terme $(-1/2)^n$ tendeix a zero i la població queda dominada pel vector propi $u_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, donant una proporció $2/1 = 2$.