Problema 1 · Matemàtiques UAB 2019

Problema 1. Llei de Gompertz i modelització del creixement

Es diu que el patró de creixement d'una espècie obeeix la llei de Gompertz si el logaritme de la seva talla evoluciona d'acord amb el model de von Bertalanffy. Denotant per $L(t)$ la longitud d'un individu en el temps $t$, es verifica la següent relació:$$\frac{d}{dt} \ln L = r(\ln L_\infty - \ln L)$$on els paràmetres $r$ i $L_\infty$ són constants estrictament positives.

a)

Resoleu l'equació diferencial precedent i deduïu la funció $\ln L$. Escriviu l'expressió de $\ln L(t)$ en funció de $\ln L_\infty$, una constant arbitrària $k$ i el terme temporal:

b)

Trobeu la funció $L(t)$ aïllant a partir de l'expressió anterior:

Justifiqueu el valor del límit asimptòtic $\lim_{t \to \infty} L(t)$ quan $r > 0$:

c)

Assumint que $L(0) < L_\infty$, demostreu que la funció $L(t)$ és monòtona creixent en tot el seu domini (calculeu $L'(t)$ i raoneu el signe de la derivada):

d)

Sota el mateix supòsit $L(0) < L_\infty$, proveu que la gràfica de $L(t)$ presenta un punt d'inflexió quan la longitud arriba a una certa fracció de la grandària asimptòtica $L_\infty$.

Quin valor pren la relació $\frac{L(t)}{L_\infty}$ en el punt d'inflexió (fracció exacta o decimal)?

Desenvolupament i càlcul de $L''(t)$: