Problema 2 · Matemàtiques UAB 2019

Tema: Equacions diferencials lineals de primer ordre · Del examen Examen segon parcial gener 2019 (2019)

Enunciado

Problema 2. Dinàmica lineal d'un sistema predador-presa

Considerem el vector de funcions (x(t),y(t))(x(t), y(t)) obtingut com a combinació lineal dels vectors e2t(sin⁡t,cos⁡t)e^{2t}(\sin t, \cos t) i e2t(cos⁡t,−sin⁡t)e^{2t}(\cos t, -\sin t).

a.

Comproveu que les components x(t)x(t) i y(t)y(t) verifiquen el sistema d'equacions diferencials lineals següent:{x′=2x+yy′=−x+2y\begin{cases} x' = 2x + y \\ y' = -x + 2y \end{cases}

b.

Se sap que x(t)x(t) i y(t)y(t) descriuen el cens (en mesos) d'una població de predadors i de les seves preses, respectivament. Determineu l'expressió explícita de x(t)x(t) i y(t)y(t) sabent que a l'instant inicial t=0t = 0 hi ha un recompte de 150 predadors i 100 preses.

c.

Calculeu en quin instant de temps s'arriba a l'extinció de la població de preses.

Enunciado: Problema 2 · Matemàtiques UAB 2019

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Comproveu que les components x(t) i y(t) verifiquen el sistema d'equacions diferencials lineals

Solución: Comprovació mitjançant la derivada de la combinació lineal

b. Determineu l'expressió explícita de x(t)

Solución: 100e2tsin⁡t+150e2tcos⁡t100 e^{2t}\sin t + 150 e^{2t}\cos t

b. Determineu l'expressió explícita de y(t)

Solución: 100e2tcos⁡t−150e2tsin⁡t100 e^{2t}\cos t - 150 e^{2t}\sin t

c. Calculeu en quin instant de temps s'arriba a l'extinció de la població de preses

Solución: arctan⁡(2/3)\arctan(2/3) mesos / 0,5880{,}588 mesos / 17,617{,}6 dies

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 4.b · 2020 · Problema 4.c · 2019 ›

Más ejercicios de Equacions diferencials lineals de primer ordre