Examen de Matemàtiques UAB 2018 · Segon examen parcial (gener de 2018)

Exercici 1. Primitiva d'una funció amb logaritme

Trobeu una primitiva de la funció següent:

$$y = x\ln(x + 1)$$

Exercici 2. Dinàmica de poblacions matricial

Considerem una població dividida en dues classes d'edat: joves ($j_n$) i adults ($a_n$) en l'any $n$. L'evolució temporal ve donada pel model matricial discret:

$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}, \quad \text{on } A = \begin{pmatrix} 0 & 15/2 \\ 1/5 & 1/2 \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu els valors propis de la matriu $A$ i una base formada per vectors propis associats.

b)

Si les condicions inicials són $j_0 = 500$ i $a_0 = 100$, determineu els valors de $j_{10}$ i $a_{10}$.

c)

Trobeu la proporció asimptòtica o relació existent entre joves i adults ($j_n/a_n$) al llarg dels diferents anys.

Exercici 3. Model de creixement logístic

La grandària d'una població en el temps $N(t)$ (mesurant $t$ en hores) evoluciona segons l'equació diferencial logística:

$$N' = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right)$$

on la capacitat de càrrega és $K = 1000$ i la taxa intrínseca de creixement inicial val $r$. A l'instant inicial tenim una població $N(0) = N_0 = 40$, la qual es duplica quan han transcorregut dues hores ($N(2) = 80$).

a.

Determineu el valor de la taxa $r$.

b.

Calculeu el nombre d'individus de la població a les 4 hores.

c.

Derivant l'equació logística respecte al temps, demostreu que el valor de la població en el punt d'inflexió és exactament $N = K/2$.

d.

Determineu les coordenades del punt d'inflexió de la funció $N(t)$.

$t$ (en hores):

$N$ (individus):

e.

Dibuixeu un esbós qualitatiu de la gràfica de $N(t)$ on apareguin els punts obtinguts.

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta amb una explicació breu si és certa, o mitjançant un contraexemple si és falsa.

a.

El valor mitjà de la funció $y = \frac{x}{1+x^2}$ en l'interval $[-1, 1]$ val $1/2$.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta amb una explicació breu si és certa, o mitjançant un contraexemple si és falsa.

b.

Una matriu quadrada $A \in M_{3\times 3}(\mathbb{R})$ que posseeix una columna sencera de zeros mai no és invertible.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta amb una explicació breu si és certa, o mitjançant un contraexemple si és falsa.

c.

Per a qualssevol matrius $A, B \in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ es compleix la igualtat $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta amb una explicació breu si és certa, o mitjançant un contraexemple si és falsa.

d.

Totes les funcions de la forma $y = \frac{x^4}{4} + \frac{C}{x^2}$ són solucions de l'equació diferencial $xy' + 2y = x^4$.

Certa

Falsa