Exercici 3 · Matemàtiques UAB 2018

Tema: Equacions diferencials de variables separables i problemes de valor inicial · Del examen Segon examen parcial (gener de 2018) (2018)

Enunciado

Exercici 3. Model de creixement logístic

La grandària d'una població en el temps N(t)N(t) (mesurant tt en hores) evoluciona segons l'equació diferencial logística:

N′=rN(1−NK)N' = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right)

on la capacitat de càrrega és K=1000K = 1000 i la taxa intrínseca de creixement inicial val rr. A l'instant inicial tenim una població N(0)=N0=40N(0) = N_0 = 40, la qual es duplica quan han transcorregut dues hores (N(2)=80N(2) = 80).

a.

Determineu el valor de la taxa rr.

b.

Calculeu el nombre d'individus de la població a les 4 hores.

c.

Derivant l'equació logística respecte al temps, demostreu que el valor de la població en el punt d'inflexió és exactament N=K/2N = K/2.

d.

Determineu les coordenades del punt d'inflexió de la funció N(t)N(t).

tt (en hores):

NN (individus):

e.

Dibuixeu un esbós qualitatiu de la gràfica de N(t)N(t) on apareguin els punts obtinguts.

Enunciado: Exercici 3 · Matemàtiques UAB 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determineu el valor de la taxa r.

Solución: r=12ln⁡(4823)≈0,3678 h−1r = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{48}{23}\right) \approx 0{,}3678\ \text{h}^{-1}

b. Calculeu el nombre d'individus de la població a les 4 hores.

Solución: N(4)=10001+24(2348)2≈153,6 individusN(4) = \frac{1000}{1 + 24\left(\frac{23}{48}\right)^2} \approx 153{,}6\ \text{individus}

c. Derivant l'equació logística respecte al temps, demostreu que el valor de la població en el punt d'inflexió és exactament N = K/2.

Solución: N′′(t)=rN′(1−2NK)N''(t) = rN'\left(1 - \frac{2N}{K}\right)

d. Determineu les coordenades del punt d'inflexió de la funció N(t). (Coordenada t)

Solución: t=2ln⁡(24)ln⁡(48/23)≈8,64 ht = \frac{2\ln(24)}{\ln(48/23)} \approx 8{,}64\ \text{h}

d. Determineu les coordenades del punt d'inflexió de la funció N(t). (Coordenada N)

Solución: N=500N = 500

e. Dibuixeu un esbós qualitatiu de la gràfica de N(t) on apareguin els punts obtinguts.

Solución: L'esbós de la corba logística correspon a una sigmoide que parteix de (0,40)(0, 40), passa per (2,80)(2, 80), (4,153,6)(4, 153{,}6), té el canvi de concavitat al punt d'inflexió (8,64,500)(8{,}64, 500) i s'apropa asimptòticament a la recta horitzontal N=1000N = 1000 quan t→∞t \to \infty.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 1 · 2019

Más ejercicios de Equacions diferencials de variables separables i problemes de valor inicial