Exercici 2 · Matemàtiques UAB 2018

Exercici 2. Dinàmica de poblacions matricial

Considerem una població dividida en dues classes d'edat: joves ($j_n$) i adults ($a_n$) en l'any $n$. L'evolució temporal ve donada pel model matricial discret:

$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}, \quad \text{on } A = \begin{pmatrix} 0 & 15/2 \\ 1/5 & 1/2 \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu els valors propis de la matriu $A$ i una base formada per vectors propis associats.

b)

Si les condicions inicials són $j_0 = 500$ i $a_0 = 100$, determineu els valors de $j_{10}$ i $a_{10}$.

c)

Trobeu la proporció asimptòtica o relació existent entre joves i adults ($j_n/a_n$) al llarg dels diferents anys.