Examen de Matemáticas UAB 2019 · primer parcial de Matemàtiques (Novembre 2019)

Es defineix la següent funció a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} 5 e^{\frac{x^2}{3-x}} & \text{si } x \neq 3 \\ 0 & \text{si } x = 3 \end{cases}$$

a.

Determineu la continuïtat de la funció en tot el seu domini.

b.

Analitzeu el comportament asimptòtic de $f(x)$ quan $|x|$ pren valors arbitràriament grans ($x \to \pm\infty$).

Es defineix la següent funció a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} 5 e^{\frac{x^2}{3-x}} & \text{si } x \neq 3 \\ 0 & \text{si } x = 3 \end{cases}$$

c.

Trobeu l'expressió algebraica de la funció derivada $f'(x)$ per a tots els punts on $x \neq 3$.

d.

Descriviu la concavitat, trobeu els possibles punts d'inflexió i feu un esbós qualitatiu de la seva gràfica.

Exercici 2. Llei de Kleiber i escales logarítmiques

D'acord amb la Llei de Kleiber, la despesa energètica diària $E$ (mesurada en kcal/dia) d'un animal es troba lligada a la seva massa corporal $M$ (expressada en grams) mitjançant l'equació:

$$E = k M^{3/4}$$

on $k > 0$ representa una constant de proporcionalitat característica de cada grup biològic.

a.

Trobeu el valor numèric de la constant $k$ tenint en compte que un individu de $100\text{ g}$ de massa consumeix diàriament $25\text{ kcal}$.

b.

Demostreu que la relació existent entre $\log E$ i $\log M$ és lineal. Si la magnitud $\log M$ s'incrementa en $2$ unitats, quant augmentarà $\log E$?

c.

Calculeu el pes corporal $M$ que tindria un animal que requereixi un consum metabòlic de $40\text{ kcal/dia}$.

Exercici 3. Model de creixement oscil·latori de població

En un determinat ecosistema, la variació en el temps $t$ de la mida poblacional $N(t)$ es descriu mitjançant la següent relació amb retard:

$$N'(t) = \frac{\pi}{2T}(K - N(t - T))$$

on els paràmetres $K$ i $T$ són constants estrictament positives.

a.

Verifiqueu formalment que la funció definida per $N(t) = K + A\cos\left(\frac{\pi t}{2T}\right)$ satisfà l'equació proposada.

b.

Determineu el valor de la constant $A$ si se sap que $K = 120$, $T = 2$ i la població inicial en $t = 0$ és de $N(0) = 150$ individus.

c.

Dibuixeu la corba de $N(t)$ per a aquests paràmetres concrets.

d.

Expliqueu el comportament temporal de la comunitat a llarg termini a partir dels resultats obtinguts.

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una justificació detallada:

a. El període de l'oscil·lació donada per $y = 3\cos\left(\frac{\pi x + 4}{3}\right) - 0.5$ val 6.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una justificació detallada:

b. L'alçada en metres $H$ d'un arbre evoluciona amb els anys $t$ segons la relació $H = \frac{40t}{t+5}$. Aquest exemplar trigarà un període d'entre 41 i 42 anys a assolir una alçada de 30 metres.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una justificació detallada:

c. El rendiment de pesca $Y$ i la presència de clorofil·la fitoplanctònica estival $C$ es regeixen per l'equació $\log_{10} Y = 1.17\log_{10} C - 1.92$. Si $C$ experimenta una pujada del $10\%$, el valor de $Y$ també creixerà un $10\%$.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una justificació detallada:

d.

La funció $Q(N) = \frac{3N^2}{5+N^2}$ presenta un punt d'inflexió per a un valor aproximat de $N \approx 2.88$.

Certa

Falsa