Examen de Matemáticas UAB 2019 · Segon parcial de Matemàtiques (Gener 2019)

Exercici 1. Llei de Gompertz i model de creixement

Es considera que el desenvolupament biomètric dels individus d'una certa espècie segueix la denominada llei de Gompertz quan el logaritme de la seva longitud evoluciona d'acord amb el model de von Bertalanffy. Denotant per $L(t)$ la talla o longitud en l'instant $t$, es compleix la relació diferencial següent:

$$\frac{d}{dt}\ln L = r(\ln L_\infty - \ln L)$$

on els paràmetres $r$ i $L_\infty$ prenen valors constants positius.

a)

Integreu l'equació diferencial donada per tal d'aïllar l'expressió analítica de $\ln L(t)$.

b)

Deduïu la funció $L(t)$ i comproveu que $L_\infty$ correspon a la longitud asimptòtica de l'organisme a llarg termini.

c)

Assumint la hipòtesi biològica que $L(0) < L_\infty$, demostreu que la funció de longitud $L(t)$ és estrictament creixent en tot moment.

d)

Sota aquesta mateixa premissa inicial ($L(0) < L_\infty$), proveu que la trajectòria de $L(t)$ presenta un punt d'inflexió just quan l'individu assoleix aproximadament un $36.8\%$ de la seva mida asimptòtica.

Exercici 2. Sistema lineal predador-presa

Sigui el vector de funcions $(x(t), y(t))$ obtingut a partir de la combinació lineal dels vectors base $e^{2t}(\sin t, \cos t)$ i $e^{2t}(\cos t, -\sin t)$.

a)

Verifiqueu que les funcions $x(t)$ i $y(t)$ constitueixen la solució general del sistema d'equacions diferencials lineals:

$$\begin{cases} x' = 2x + y \\ y' = -x + 2y \end{cases}$$

b)

Les magnituds $x(t)$ i $y(t)$ modelitzen el nombre d'individus de dues poblacions animals en el temps $t$ (mesurat en mesos), corresponents a una població depredadora i a les seves preses, respectivament. Si es parteix d'un cens inicial de $150$ predadors i $100$ preses, trobeu les fórmules explícites per a $x(t)$ i $y(t)$.

c)

Calculeu en quin instant de temps s'arribarà a l'extinció de la comunitat de preses.

Exercici 3. Model matricial de població estructurada

Una determinada població animal es troba estructurada en dos estadis de desenvolupament: individus joves i individus adults. Denotem per $j_n$ i $a_n$ les quantitats respectives de joves i adults registrats a l'any $n$. Es coneix que el cicle vital anual segueix les següents regles:

Cada individu adult produeix de mitjana 2 nous joves per any.

Una proporció d'1/4 dels joves madura i passa a ser adulta l'any següent, mentre que la resta (3/4) mor.

Sobreviu exactament la meitat (1/2) dels individus adults d'un any a l'altre.

a)

Formuleu i justifiqueu la relació matricial del model:$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}, \quad \text{on } A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}$$

b)

Determineu els valors propis de la matriu $A$ i construïu una base de $\mathbb{R}^2$ formada per vectors propis.

c)

Si a l'any inicial es registren $j_0 = 400$ i $a_0 = 500$, expresseu el vector poblacional inicial $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix}$ en la base de vectors propis i calculeu el cens d'individus a l'any $n = 6$, $\begin{pmatrix} j_6 \\ a_6 \end{pmatrix}$.

d)

Calculeu la proporció asimptòtica d'individus joves respecte a adults quan el temps tendeix a infinit, és a dir, el límit:$$\lim_{n\to\infty} \frac{j_n}{a_n}$$

Qüestió 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

a)

Sigui la matriu quadrada $A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$. Aleshores existeix una base de l'espai vectorial $\mathbb{R}^2$ formada per vectors propis de la matriu $A$.

Certa

Falsa

b)

El fet que una matriu quadrada sigui invertible és equivalent a afirmar que cap de les seves files és totalment nul·la.

Certa

Falsa

Qüestió 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

c)

La família de funcions definida per $y(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{C}{x^2}$ (amb $C \in \mathbb{R}$) constitueix la solució general de l'equació diferencial ordinària $xy' + 2y = x^2$.

Certa

Falsa

d)

Considerem que la funció $y(t)$ és solució de l'equació logística $y' = ry\left(1 - \frac{y}{10^5}\right)$ i compleix la condició inicial $y(0) = 100$. Aleshores, el gràfic de $y(t)$ presenta el seu punt d'inflexió quan $y(t_0) = 5000$.

Certa

Falsa