Exercici 3 · Matemáticas UAB 2019

a. Verifiqueu formalment que la funció definida per N(t) = K + A cos(pi*t / (2T)) satisfà l'equació proposada.

Solución: Derivant: $N'(t) = -\frac{A\pi}{2T} \sin\left(\frac{\pi t}{2T}\right)$. Avaluant el segon membre: $\frac{\pi}{2T}(K - N(t-T)) = \frac{\pi}{2T}\left(K - \left[K + A\cos\left(\frac{\pi(t-T)}{2T}\right)\right]\right) = -\frac{A\pi}{2T}\cos\left(\frac{\pi t}{2T} - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{A\pi}{2T}\sin\left(\frac{\pi t}{2T}\right)$. Ambdós membres coincideixen.

b. Determineu el valor de la constant A si se sap que K = 120, T = 2 i la població inicial en t = 0 és de N(0) = 150 individus.

Solución: 30

c. Dibuixeu la corba de N(t) per a aquests paràmetres concrets.

Solución: Gràfica de la funció $N(t) = 120 + 30\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)$. Corba cosinusoidal periòdica amb eix mitjà $N = 120$, màxims de 150 en $t = 0, 8, 16\dots$, mínims de 90 en $t = 4, 12\dots$ i període complet de 8 unitats temporals.

d. Expliqueu el comportament temporal de la comunitat a llarg termini a partir dels resultats obtinguts.

Solución: La població descriu una fluctuació periòdica i contínua que oscil·la regularment entre 90 i 150 individus, amb una amplitud de 30 (oscil·lació total de 60 unitats) i un cicle regular que es repeteix de forma indefinida cada 8 unitats temporals.