Sujet du Bac Mathématiques 2023 · Amérique du Sud Jour 1

EXERCICE 1 (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par: $f(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1.

Justifier que $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln(x))$, justifier que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

2.

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x) = -4x \ln(x)$.

3.

Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

4.

Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1; +\infty[$ et que $\alpha \in [1; \text{e}]$.

On admet, dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $]0; 1]$.

5.

On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L'instruction from lycee import * permet d'accéder à la fonction $\ln$.

from lycee import *

def f(x):

return 1+x2-2*x2*ln(x)

def dichotomie(p):

a = 1

b = 2.7

while b-a > 10**(-p):

if f(a)*f((a+b)/2) < 0:

b = (a+b)/2

else:

a = (a+b)/2

return (a,b) On écrit dans la console d'exécution:

>>> dichotomie(1) Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

1.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x(1+x^2)^2}$.

2.

Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$.

On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.

3.

On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_\alpha$ la tangente à $C_g$ au point d'abscisse $\alpha$. Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_\alpha$.

Entre 1998 et 2020, en France, 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à 0,984 et celle d’un accouchement double est alors égale à 0,016.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

1. a.

Avec une précision de 0,1%, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.

%

1. b.

Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1%. On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

2. a.

Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.

2. b.

Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \ge 1) \ge 0,99$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Entre 1998 et 2020, en France, 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à 0,984 et celle d’un accouchement double est alors égale à 0,016.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

3. Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu'il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe: deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à 0,49 et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à 0,51.

Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants:

$M$: « les jumeaux sont monozygotes »;

$F_1$: « le premier nouveau-né est une fille »;

$F_2$: « le second nouveau-né est une fille ».

On notera $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

a.

Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

b.

Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est 0,31507.

c.

Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(0; 4; 16)$, $B(0; 4; -10)$, $C(4; -8; 0)$ et $K(0; 4; 3)$.

On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l'ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

1. a.

Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$.

1. b.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

2. a.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

2. b.

On admet que la sphère $\mathcal{S}$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.

3. a.

Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12; 0; 0)$.

3. b.

Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

3. c.

4.

Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.

Rappel

Formule du volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre: $\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

EXERCICE 4 (5 points)

PARTIE A

Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0{,}3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = 2u_n(1 - u_n).$$

Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = 2x(1 - x).$$

1.

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]$.

2.

On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_n \le \frac{1}{2}$.

Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \le u_{n+1}$.

3.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

4.

Justifier que la limite de la suite $(u_n)$ est égale à $\frac{1}{2}$.

PARTIE B

Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.

En 2022, cette population compte 3000 individus.

On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$.

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19 e siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$:

$$P_{n+1} - P_n = P_n(1 - b \times P_n), \text{ où } b \text{ est un réel strictement positif.}$$

Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

1.

Dans cette question $b = 0$.

a.

Justifier que la suite $(P_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b.

Déterminer la limite de $P_n$.

2.

Dans cette question $b = 0{,}2$.

a.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0{,}1 \times P_n$.

Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n(1 - v_n)$.

b.

Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera.