Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 1)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(0; 4; 16)$, $B(0; 4; -10)$, $C(4; -8; 0)$ et $K(0; 4; 3)$.

On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l'ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

1. a.

Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$.

1. b.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

2. a.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

2. b.

On admet que la sphère $\mathcal{S}$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.

3. a.

Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12; 0; 0)$.

3. b.

Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

3. c.

4.

Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.

Rappel

Formule du volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre: $\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.