Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 1)

EXERCICE 4 (5 points)

PARTIE A

Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0{,}3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = 2u_n(1 - u_n).$$

Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = 2x(1 - x).$$

1.

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]$.

2.

On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_n \le \frac{1}{2}$.

Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \le u_{n+1}$.

3.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

4.

Justifier que la limite de la suite $(u_n)$ est égale à $\frac{1}{2}$.

PARTIE B

Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.

En 2022, cette population compte 3000 individus.

On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$.

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19 e siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$:

$$P_{n+1} - P_n = P_n(1 - b \times P_n), \text{ où } b \text{ est un réel strictement positif.}$$

Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

1.

Dans cette question $b = 0$.

a.

Justifier que la suite $(P_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b.

Déterminer la limite de $P_n$.

2.

Dans cette question $b = 0{,}2$.

a.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0{,}1 \times P_n$.

Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n(1 - v_n)$.

b.

Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera.