Exercice 2 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 1)

Thème : Probabilités conditionnelles et indépendance · Tiré du sujet Jour 1 (2023)

Énoncé

Entre 1998 et 2020, en France, 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à 0,984 et celle d’un accouchement double est alors égale à 0,016.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

3. Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu'il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe: deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à 0,49 et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à 0,51.

Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants:

MM: « les jumeaux sont monozygotes »;

F1F_1: « le premier nouveau-né est une fille »;

F2F_2: « le second nouveau-né est une fille ».

On notera P(A)P(A) la probabilité de l'évènement AA et A‾\overline{A} l'évènement contraire de AA.

a.

Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

b.

Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est 0,31507.

c.

Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.

Énoncé: Exercice 2 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 1)

Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

a. Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

Réponse : Arbre pondéré complété avec les probabilités suivantes : - Premier niveau : P(M)=0,3P(M) = 0{,}3 et P(M‾)=0,7P(\overline{M}) = 0{,}7. - Branche issue de MM : - PM(F1)=0,49P_M(F_1) = 0{,}49, puis PM∩F1(F2)=1P_{M \cap F_1}(F_2) = 1. - PM(F1‾)=0,51P_M(\overline{F_1}) = 0{,}51, puis PM∩F1‾(F2‾)=1P_{M \cap \overline{F_1}}(\overline{F_2}) = 1. - Branche issue de M‾\overline{M} : - PM‾(F1)=0,49P_{\overline{M}}(F_1) = 0{,}49, puis PM‾∩F1(F2)=0,49P_{\overline{M} \cap F_1}(F_2) = 0{,}49 et PM‾∩F1(F2‾)=0,51P_{\overline{M} \cap F_1}(\overline{F_2}) = 0{,}51. - PM‾(F1‾)=0,51P_{\overline{M}}(\overline{F_1}) = 0{,}51, puis PM‾∩F1‾(F2)=0,49P_{\overline{M} \cap \overline{F_1}}(F_2) = 0{,}49 et PM‾∩F1‾(F2‾)=0,51P_{\overline{M} \cap \overline{F_1}}(\overline{F_2}) = 0{,}51.

b. Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est 0,31507.

Réponse : P(F1∩F2)=0,31507P(F_1 \cap F_2) = 0{,}31507

La réponse de la question restante et l’explication pas à pas sont réservées aux membres Premium. Premium

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