Exercice 1 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 1)

EXERCICE 1 (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par: $f(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1.

Justifier que $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln(x))$, justifier que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

2.

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x) = -4x \ln(x)$.

3.

Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

4.

Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1; +\infty[$ et que $\alpha \in [1; \text{e}]$.

On admet, dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $]0; 1]$.

5.

On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L'instruction from lycee import * permet d'accéder à la fonction $\ln$.

from lycee import *

def f(x):

return 1+x2-2*x2*ln(x)

def dichotomie(p):

a = 1

b = 2.7

while b-a > 10**(-p):

if f(a)*f((a+b)/2) < 0:

b = (a+b)/2

else:

a = (a+b)/2

return (a,b) On écrit dans la console d'exécution:

>>> dichotomie(1) Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

1.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x(1+x^2)^2}$.

2.

Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$.

On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.

3.

On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_\alpha$ la tangente à $C_g$ au point d'abscisse $\alpha$. Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_\alpha$.