Aufgabe 1 (WTR 2) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

a) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Ga mit der y-Achse an

Lösung: $(0 \mid 1 + a)$

a) und berechnen Sie die Steigung von Ga in diesem Punkt.

Lösung: $1 - a$

a) Begründen Sie, dass Ga für jeden Wert von a vollständig oberhalb der x-Achse verläuft.

Lösung: Wegen $e^x > 0$ und $a \cdot e^{-x} > 0$ für $a \in \mathbb{R}^+$ gilt $g_a(x) > 0$.

c) Zeigen Sie rechnerisch, dass ha(x) = sqrt(a) * (e^x + e^(-x)) gilt und dass der Graph von ha symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

Lösung: $$h_a(x) = e^{x + \frac{1}{2}\ln a} + a \cdot e^{-(x + \frac{1}{2}\ln a)} = e^x \cdot e^{\frac{1}{2}\ln a} + a \cdot e^{-x} \cdot e^{-\frac{1}{2}\ln a} = e^x \cdot a^{\frac{1}{2}} + a \cdot e^{-x} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \cdot (e^x + e^{-x})$$ $$h_a(-x) = \sqrt{a} \cdot (e^{-x} + e^{-(-x)}) = \sqrt{a} \cdot (e^{-x} + e^x) = h_a(x)$$

d) Begründen Sie mithilfe von ha, dass Ga symmetrisch bezüglich einer Gerade ist, und geben Sie eine Gleichung dieser Gerade in Abhängigkeit von a an.

Lösung: $x = -\frac{1}{2}\ln a$

d) Begründung:

Lösung: Der Graph von $h_a$ entsteht durch Verschiebung von $G_a$ um $\frac{1}{2}\ln a$ in x-Richtung. Da der Graph von $h_a$ achsensymmetrisch zur y-Achse ($x=0$) ist, ist $G_a$ achsensymmetrisch zur um $\frac{1}{2}\ln a$ nach links verschobenen Achse.

Gleichung der Symmetrieachse:

Lösung: x = -1/2 * ln(a) / x = -1/2 ln(a) / x = -0.5 * ln(a) / x = -0.5 ln(a) / x = -1/2*ln(a) / x = -0,5*ln(a) / x = -ln(a)/2 / x = -ln(a) / 2 / -1/2 * ln(a) / -1/2 ln(a) / -0.5 ln(a) / -ln(a)/2 / x = -1/2 ln a / x = -0,5 ln a

b) Ordnen Sie jedem dieser drei Werte von a den zugehörigen Graphen zu

Lösung: I: 1/k; II: k; III: k²